Question

對(duì)某條路線的長(zhǎng)度進(jìn)行n次測(cè)量，得到n個(gè)結(jié)果x₁，x₂，x₃，…，x_n．如果用x作為這條路線長(zhǎng)度的近似值，當(dāng)x取

x1+x2+x3+…+xn

n

時(shí)，（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²最小．

Answer 1

分析：先設(shè)出y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²，然后進(jìn)行整理得出y=nx²-2（x₁+x₂+x₃+…+x_n）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x_n²），再求出二次函數(shù)的最小值即可．

解答：解：設(shè)y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²=x²-2xx₁+x₁²+x²-2xx₂+x₂²+x²-2xx₃+x₃²+…+x²-2xx_n+x_n²=nx²-2（x₁+x₂+x₃+…+x_n）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x_n²），
則當(dāng)x=-

-2(x1+x2+x3+…+xn)

2n

=

x1+x2+x3+…+xn

n

時(shí)，二次函數(shù)y=nx²-2（x₁+x₂+x₃+…+x_n）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x_n²）最小，
則當(dāng)x=

x1+x2+x3+…+xn

n

時(shí)，（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²最小．
故答案為：

x1+x2+x3+…+xn

n

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了方差，關(guān)鍵是設(shè)y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²，得到一個(gè)二次函數(shù)，用到的知識(shí)點(diǎn)是求二次函數(shù)的最小值．