Question

濰坊市昌樂(lè)縣有一個(gè)食品廠(chǎng)，該廠(chǎng)的食品主要有兩種銷(xiāo)售方式，一種方式是賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商，另一種方式是在各超市的柜臺(tái)進(jìn)行銷(xiāo)售，每年該廠(chǎng)生產(chǎn)的食品都可以全部銷(xiāo)售，該食品廠(chǎng)每年可以生產(chǎn)食品100萬(wàn)盒，其中，賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商每盒食品的利潤(rùn)y₁（元）與銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)圖如圖所示；在各超市柜臺(tái)銷(xiāo)售的每盒利潤(rùn)y₂（元）與銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系為：
（1）寫(xiě)出該食品廠(chǎng)賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售總利潤(rùn)z₁（萬(wàn)元）與其銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（2）求出該食品廠(chǎng)在各超市柜臺(tái)銷(xiāo)售的總利潤(rùn)z₂（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（3）求該食品廠(chǎng)每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并幫助該食品廠(chǎng)確定賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商和在各超市柜臺(tái)的銷(xiāo)量各為多少萬(wàn)盒時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大？

Answer 1

解：（1）當(dāng)0≤x＜60時(shí)，該食品廠(chǎng)賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售總利潤(rùn)z₁=5，
∵當(dāng)60≤x≤100時(shí)，每盒食品的利潤(rùn)y₁（元）與銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)圖象過(guò)（60，5）（100，4）點(diǎn)，
∴當(dāng)60≤x≤100時(shí)，y₁=-x+，
∴當(dāng)60≤x≤100時(shí)，該食品廠(chǎng)賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售總利潤(rùn)z₁=（-x+）x=-x²+x．

（2）∵賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售量為x萬(wàn)盒，
∴在各超市柜臺(tái)的銷(xiāo)售量為（100-x）萬(wàn)盒，
∵在各超市柜臺(tái)銷(xiāo)售的每盒利潤(rùn)y₂（元）與銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系為：
y₂=
∴當(dāng)0≤100-x＜40時(shí)，
即60＜x≤100時(shí)，該食品廠(chǎng)在各超市柜臺(tái)銷(xiāo)售的總利潤(rùn)z₂（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
z₂=[（100-x）+80]（100-x）=-x²+70x+500
當(dāng)40≤100-x≤100時(shí)，
即0≤x≤60時(shí)，該食品廠(chǎng)在各超市柜臺(tái)銷(xiāo)售的總利潤(rùn)z₂（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
z₂=40（100-x）=-40x+4000，

（3）當(dāng)60＜x≤100時(shí)該食品廠(chǎng)每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為；
w=（-x²+x）+（-x²+70x+500）=-x²+x+500，
∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
∴x=時(shí)，w的值最大，
w=2387.82萬(wàn)元，
當(dāng)40≤x＜60時(shí)該食品廠(chǎng)每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為；
w=5x-40x+4000=-35x+4000，
∵該函數(shù)w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=0時(shí)，利潤(rùn)最大，
此時(shí)的最大利潤(rùn)為：-35×0+4000=4000（萬(wàn)元），
當(dāng)0≤x＜40時(shí)該食品廠(chǎng)每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
w=5x+（-x+80）（100-x），
=x²-150x+8000，
∴當(dāng)x=0時(shí)，利潤(rùn)最大，
此時(shí)的最大利潤(rùn)為8000（萬(wàn)元），
所以該食品廠(chǎng)確定賣(mài)給各超市柜臺(tái)的銷(xiāo)量100萬(wàn)盒時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大．
分析：（1）當(dāng)0≤x＜60時(shí)，可直接得出該食品廠(chǎng)賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售總利潤(rùn)z₁=5x，再根據(jù)當(dāng)60≤x≤100時(shí)，每盒食品的利潤(rùn)y₁（元）與銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)圖象過(guò)（60，5）（100，4）點(diǎn)，得出y₁=-x+，最后乘以其銷(xiāo)售量x即可得出答案；
（2）根據(jù)在各超市柜臺(tái)銷(xiāo)售的每盒利潤(rùn)y₂（元）與銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系，用y₂乘以賣(mài)給各超市柜臺(tái)的銷(xiāo)售量即可得出答案；
（3）分別求出當(dāng)0≤x＜40，40≤x＜60，60≤x≤100時(shí)該食品廠(chǎng)每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷(xiāo)商的銷(xiāo)售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為，再分別求出此時(shí)最大利潤(rùn)，即可得出所以該食品廠(chǎng)確定賣(mài)給各超市柜臺(tái)的銷(xiāo)量多少萬(wàn)盒時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此題中的數(shù)量關(guān)系較多，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)的問(wèn)題常利用函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x=時(shí)取得．