Question

（1）如圖1，點(diǎn)P為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．請(qǐng)你完成以下作圖：過(guò)點(diǎn)B作PA的平行線BPˊ，過(guò)點(diǎn)C作PD的平行線交BPˊ于點(diǎn)Pˊ，連接PPˊ；
（2）在（1）的條件下，判斷PPˊ與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖2，若點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)．求證：以AP、BP、CP、DP為邊可以構(gòu)成一個(gè)四邊形，該四邊形的兩條對(duì)角線分別等于線段AB和BC，且互相垂直．

Answer 1

（1）如圖所示：


．

（2）PP'與BC的位置關(guān)系為：垂直．
證明：∵BP'∥PA，CP'∥PD，
∴四邊形PBP'C是平行四邊形，
∵點(diǎn)P是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴BP=

1

2

BD，CP=

1

2

AC，AC=BD，AC∥BD，
∴BP=CP，
∴四邊形PBP'C是菱形，
∴PP'⊥BC．

（3）證明：過(guò)點(diǎn)B作AP的平行線BP，過(guò)點(diǎn)C作PD的平行線交BP'于點(diǎn)P'，連接PP'，交BC于點(diǎn)M．



∴∠PAB+∠ABP'=180°，∠PDC+∠DCP'=180°，
以PB、BP'、P'C、CP為邊構(gòu)成四邊形，且以BC、PP'為對(duì)角線，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB+ABC=180°，∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△APD≌△BP'C（ASA），
∴AP=BP'
∴四邊形ABP'P是平行四邊形．
∴AB∥PP'，AB=PP'AP=BP'，
同理可證：PD=CP'，
∴∠PMC=∠ABC=90°，
∴PP'⊥BC于M，
∴以AP、BP、CP、DP為邊能構(gòu)成四邊形，該四邊形的兩條對(duì)角線分別等于線段AB和BC，且互相垂直．