Question

在平面直角坐標(biāo)系中，第1個(gè)正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作第2個(gè)正方形A₁B₁C₁C；延長(zhǎng)C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作第3個(gè)正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2個(gè)正方形的面積為_(kāi)_______；第2011個(gè)正方形的面積為_(kāi)_______．

Answer 1

    5×
分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，證△DOA∽△ABA₁，得出==，求出AB，BA₁，求出邊長(zhǎng)A₁C=，求出面積即可；求出第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是，面積；第4個(gè)正方形的面積是×；依此類推得出第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是，面積是×，即可得出答案．
解答：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴==，
∵AB=AD==，
∴BA₁=，
∴第2個(gè)正方形A₁B₁C₁C的邊長(zhǎng)A₁C=A₁B+BC=，面積是=×=×5=；
同理第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是+==，面積是：=；
第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是，面積是[³]²×；
…
第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是，面積是×=5×．
故答案為：，5×．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)計(jì)算的結(jié)果得出規(guī)律，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．