對于函數(shù)圖象上的點有如下定義:若當自變量x=x0時,其函數(shù)值y恰好也為x0,則點(x0,x0)為這個函數(shù)的和諧點,已知函數(shù)y=
3x+a
x+b
(a、b為常數(shù))
,請運用定義進行解答
(1)若y=
3x+a
x+b
有和諧點(4,4),(-2,-2),求a、b的值;
(2)若函數(shù)y=
3x+a
x+b
中a=4,且函數(shù)有兩個關(guān)于原點對稱的和諧點,則函數(shù)y=
3x+a
x+b
y=-
5
x+3
的圖象有怎么樣的位置關(guān)系?
(3)若函數(shù)y=
3x+a
x+b
的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的和諧點,求a、b應(yīng)滿足的條件.
分析:(1)把(4,4),(-2,-2)代入函數(shù)解析式得到關(guān)于a,b的方程組,然后解方程組就可以確定函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)兩點關(guān)于原點知道:縱坐標相同,橫坐標互為相反數(shù),因而可以設(shè)兩個和諧點的橫坐標分別是:x和-x,代入函數(shù)的解析式,即可得到關(guān)于b和x的方程,從而求得b的值,進而確定兩個函數(shù)的圖象的關(guān)系;
(3)根據(jù)(2)的方法:可以設(shè)兩個和諧點的橫坐標分別是:x和-x,代入函數(shù)的解析式,即可得到關(guān)于a,b和x的方程,即可求得a的范圍.
解答:解:(1)將(4,4)、(-2,-2)代入y=
3x+a
x+b
,得到:
12+a
4+b
=4
-6+a
-2+b
=-2
,
解得:
a=16
b=-3
;

(2)設(shè)兩個和諧點的橫坐標分別是:x和-x,根據(jù)題意得:
3x+4
x+b
=x,則x2+(b-3)x-4=0…①;
-3x+4
-x+b
=-x,則x2-(b-3)x-4=0…②.
①-②得:b-3=0.則b=3.
則y=
3x+a
x+b
=
3x+4
x+3
=3-
5
x+3

則函數(shù)y=
3x+a
x+b
的圖象向下移動3個單位長度即可得到y=-
5
x+3
的圖象;

(3)設(shè)兩個和諧點的橫坐標分別是:x和-x,則
3x+a
x+b
=x,即x2+(b-3)x-a=0…③;
-3x+a
-x+b
=-x,則x2-(b-3)x-a=0…④.
③-④得:b-3=0,則b=3.
③+④得:2x2-2a=0,即a=x2
又∵x與-x的值不同,則x≠0,因而a>0;
∵-x+b≠0,
∴a≠9.
故a的范圍是:a>0且a≠9.
點評:此題首先考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式,然后考查了利用平移規(guī)律找到幾個圖象相同的函數(shù)之間的聯(lián)系.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

精英家教網(wǎng)九年義務(wù)教育三年制初級中學教科書代數(shù)第三冊中,有以下幾段文字:“對于坐標平面內(nèi)任意一點M,都有唯一的一對有序?qū)崝?shù)(x,y)和它對應(yīng);對于任意一對有序?qū)崝?shù)(x,y),在坐標平面內(nèi)都有唯一的一點M和它對應(yīng),也就是說,坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的.”“一般地,對于一個函數(shù),如果把自變量x與函數(shù)y的每對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標與縱坐標,在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點,這些點所組成的圖形,就是這個函數(shù)的圖象.”“實際上,所有一次函數(shù)的圖象都是一條直線.”“因為兩點確定一條直線,所以畫一次函數(shù)的圖象時,只要先描出兩點,再連成直線,就可以了.”由此可知:滿足函數(shù)關(guān)系式的有序?qū)崝?shù)對所對應(yīng)的點,一定在這個函數(shù)的圖象上;反之,函數(shù)圖象上的點的坐標,一定滿足這個函數(shù)的關(guān)系式.另外,已知直線上兩點的坐標,便可求出這條直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式.
問題1:已知點A(m,1)在直線y=2x-1上,求m的方法是:
 
,∴m=
 
;已知點B(-2,n)在直線y=2x-1上,求n的方法是:
 
,∴n=
 
;
問題2:已知某個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(3,5)和Q(-4,-9),求這個一次函數(shù)的解析式時,一般先
 
,再由已知條件可得
 
.解得:
 
.∴滿足已知條件的一次函數(shù)的解析式為:
 
.這個一次函數(shù)的圖象與兩坐標軸的交點坐標為:
 
,在右側(cè)給定的平面直角坐標系中,描出這兩個點,并畫出這個函數(shù)的圖象.像解決問題2這樣,
 
的方法,叫做待定系數(shù)法.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

對于函數(shù)圖象上的點有如下定義:若當自變量x=x0時,其函數(shù)值y恰好也為x0,則點(x0,x0)為這個函數(shù)的和諧點,已知函數(shù)數(shù)學公式,請運用定義進行解答
(1)若數(shù)學公式有和諧點(4,4),(-2,-2),求a、b的值;
(2)若函數(shù)數(shù)學公式中a=4,且函數(shù)有兩個關(guān)于原點對稱的和諧點,則函數(shù)數(shù)學公式數(shù)學公式的圖象有怎么樣的位置關(guān)系?
(3)若函數(shù)數(shù)學公式的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的和諧點,求a、b應(yīng)滿足的條件.

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科目:初中數(shù)學 來源:2012年江蘇省揚州市新華中學中考數(shù)學一模試卷(解析版) 題型:解答題

對于函數(shù)圖象上的點有如下定義:若當自變量x=x時,其函數(shù)值y恰好也為x,則點(x,x)為這個函數(shù)的和諧點,已知函數(shù),請運用定義進行解答
(1)若有和諧點(4,4),(-2,-2),求a、b的值;
(2)若函數(shù)中a=4,且函數(shù)有兩個關(guān)于原點對稱的和諧點,則函數(shù)的圖象有怎么樣的位置關(guān)系?
(3)若函數(shù)的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的和諧點,求a、b應(yīng)滿足的條件.

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科目:初中數(shù)學 來源:1999年河北省中考數(shù)學試卷 題型:解答題

(1999•河北)九年義務(wù)教育三年制初級中學教科書代數(shù)第三冊中,有以下幾段文字:“對于坐標平面內(nèi)任意一點M,都有唯一的一對有序?qū)崝?shù)(x,y)和它對應(yīng);對于任意一對有序?qū)崝?shù)(x,y),在坐標平面內(nèi)都有唯一的一點M和它對應(yīng),也就是說,坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的.”“一般地,對于一個函數(shù),如果把自變量x與函數(shù)y的每對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標與縱坐標,在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點,這些點所組成的圖形,就是這個函數(shù)的圖象.”“實際上,所有一次函數(shù)的圖象都是一條直線.”“因為兩點確定一條直線,所以畫一次函數(shù)的圖象時,只要先描出兩點,再連成直線,就可以了.”由此可知:滿足函數(shù)關(guān)系式的有序?qū)崝?shù)對所對應(yīng)的點,一定在這個函數(shù)的圖象上;反之,函數(shù)圖象上的點的坐標,一定滿足這個函數(shù)的關(guān)系式.另外,已知直線上兩點的坐標,便可求出這條直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式.
問題1:已知點A(m,1)在直線y=2x-1上,求m的方法是:    ,∴m=    ;已知點B(-2,n)在直線y=2x-1上,求n的方法是:    ,∴n=    ;
問題2:已知某個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(3,5)和Q(-4,-9),求這個一次函數(shù)的解析式時,一般先    ,再由已知條件可得    .解得:    .∴滿足已知條件的一次函數(shù)的解析式為:    .這個一次函數(shù)的圖象與兩坐標軸的交點坐標為:    ,在右側(cè)給定的平面直角坐標系中,描出這兩個點,并畫出這個函數(shù)的圖象.像解決問題2這樣,    的方法,叫做待定系數(shù)法.

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