已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點M是BE的中點,連接CM.當點D在AB上,點E在AC上時(如圖一),連接DM,可得結(jié)論:DC=CM.將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),當點D在AC上(如圖二)或當點E在BA的延長線上(如圖三)時,請你猜想DC與CM有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并選擇一種情況加以證明.

【答案】分析:(1)延長DM交BC于N,根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定推出∠DEM=∠MCB,根據(jù)ASA推出△EMD≌△CMN,證出CN=AD即可;
(2)作CN∥DE交DM的延長線于N,連接BN,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠NCM,根據(jù)ASA證△DBA≌△NBC,推出△DBN是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出△BMD為等腰直角三角形.
解答:解:(1)DC=CM
如圖二,連接DM并延長DM交BC于N,
∵∠EDA=∠ABC=90°,
∴DE∥BC,
∴∠DEM=∠MCB,
∵在△EMD和△CMN中,
,
∴△EMD≌△CMN(ASA),
∴CN=DE=DA,MN=MD
∵BA=BC,
∴BD=BN,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底邊的中線,
∴BM⊥DM,∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM,
∴△BMD為等腰直角三角形.
∴DC=CM;
(2)DC=CM,
理由:如圖三,連接DM,作CN∥DE交DM的延長線于N,連接BN,
∴∠E=∠MCN=45°.
∵點M是BE的中點,
∴EM=CM.
∵在△EMD和△CMN中,

∴△EMD≌△CMN(ASA),
∴CN=DE=DA,MN=MD,
∵∠DAE=∠BAC=∠ACB=45°,
∴∠DAB=∠NCB=90°
∵在△DBA和△NBC中
,
∴△DBA≌△NBC(SAS),
∴∠DBA=∠NBC,DB=BN,
∴∠DBN=∠ABC=90°,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底邊的中線,
∴BM⊥DM,∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM,
∴△BMD為等腰直角三角形.
∴DC=CM.
點評:本題綜合考查了等腰直角三角形,等腰三角形的性質(zhì)和判定,平行線的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定,此題綜合性比較強,培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,類比思想的運用,題型較好,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點M是BE的中點,連接CM.當點D在AB上,點E在AC上時(如圖一),連接DM,可得結(jié)論:DC=
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CM.將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),當點D在AC上(如圖二)或當點E在BA的延長線上(如圖三)時,請你猜想DC與CM有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并選擇一種情況加以證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:△ABC和△DBE均為等腰直角三角形.如圖(1),易證AD=CE且AD⊥CE.
(1)將△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至圖(2)的位置時,線段AD和CE有怎樣的關(guān)系?
(2)將△DBE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至圖(3)的位置時,線段AD和CE又有怎樣的關(guān)系?
請直接寫出你的猜想,并選擇其一加以證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,△ABC和△CDE都是等邊三角形,且點B,C,D在同一條直線上.求證:BE=AD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖(1),已知在△ABC和△DEF中,AB=EF,∠B=∠E,EC=BD
(1)說明△ABC≌△FED的理由;
(2)若圖形經(jīng)過平移和旋轉(zhuǎn)后得到圖(2),且有∠EDB=25°,∠A=66°,試求∠AMD的度數(shù);
(3)將圖形繼續(xù)旋轉(zhuǎn)后得到圖(3),此時D、B、F三點在同一條直線上,若DB=2DF,連接EB,已知△EFB的面積為4cm2,那么四邊形ABED的面積=
12
12
cm2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

6、已知,△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',要判定△ABC≌△A'B'C'可以添加條件
AB=A′B′
∠A=∠A′
∠B=∠B′
BC=B′C′

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