Question

如圖，拋物線(xiàn)F：的頂點(diǎn)為P，拋物線(xiàn)F與y軸交于點(diǎn)A，與直線(xiàn)OP交于點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，平移拋物線(xiàn)F使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D得到拋物線(xiàn)F′：，拋物線(xiàn)F′與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

(1)當(dāng)a = 2，b=－6，c = 9時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出答案)；

（2）在（1）的條件下

①求b：b′的值；

②探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1） C（3，0）；………………………………………………2分

（2）①拋物線(xiàn)，令=0，則=，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）．

∵，∴ ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）．

∵PD⊥軸于D，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）．

 

根據(jù)題意，得a=a′，c= c′，∴拋物線(xiàn)F′的解析式為．

又∵拋物線(xiàn)F′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（），∴．

∴．

又∵，∴．

∴b:b′=．

②由①得，拋物線(xiàn)F′為．

令y=0，則．∴．

∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）．

設(shè)直線(xiàn)OP的解析式為．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），

∴，∴，∴．  

∵點(diǎn)B是拋物線(xiàn)F與直線(xiàn)OP的交點(diǎn)，∴．

∴．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．

把代入，得．

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），

∴四邊形OABC是平行四邊形．

又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形．