Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過⊙T（半徑為r）外一點(diǎn)P引它的一條切線，切點(diǎn)為Q，若0＜PQ≤2r，則稱點(diǎn)P為⊙T的伴隨點(diǎn)．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，

①在點(diǎn)A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O的伴隨點(diǎn)是　 　；

②點(diǎn)D在直線y＝x+3上，且點(diǎn)D是⊙O的伴隨點(diǎn)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)d的取值范圍；

（2）⊙M的圓心為M(m，0)，半徑為2，直線y＝2x﹣2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，F．若線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙M的伴隨點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①B，C；②；（2）或．

【解析】

（1）①畫出圖形，利用勾股定理、圓的切線的性質(zhì)求出切線長，再根據(jù)⊙O的伴隨點(diǎn)的定義判斷即可；

②如圖2中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，先求出當(dāng)切線長為時(shí)，OD的長，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式可求出d的值，由此即可得出答案；

（2）求出臨界位置時(shí)m的值即可判斷：①如圖3-1中，設(shè)FT是⊙M的切線，當(dāng)時(shí)，求出此時(shí)m的值，再根據(jù)伴隨點(diǎn)的定義，結(jié)合圖象即可得；②如圖3-2中，設(shè)ET是⊙M的切線，連接MT，則，求出此時(shí)臨界位置m的值，再根據(jù)伴隨點(diǎn)的定義，如圖3-3中，當(dāng)⊙M在直線EF的左側(cè)與EF相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為T，連接MT，求出臨界位置m的值，然后結(jié)合圖象即可得．

（1）①如圖1，為⊙O的三條切線

⊙O的半徑為1

則切線AG的長為

切線BN的長為

切線CM的長為

由⊙O的伴隨點(diǎn)的定義得：點(diǎn)B，C是⊙O的伴隨點(diǎn)

故答案為：B，C；

②如圖2中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為

當(dāng)過點(diǎn)D的切線長為時(shí)，

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：

解得

結(jié)合圖象可知，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)d的取值范圍是；

（2）對(duì)于

當(dāng)時(shí)，，解得，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為

⊙M的半徑為2，⊙M的圓心為

，

由題意，由以下兩種情況：

如圖3-1中，點(diǎn)M在點(diǎn)E的右側(cè)

設(shè)FT是⊙M的切線

則有兩個(gè)臨界位置：和點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的切線長為0

當(dāng)時(shí)，則

當(dāng)點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的切線長為0，即

解得

結(jié)合圖象得，當(dāng)時(shí)，線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙M的伴隨點(diǎn)

②如圖3-2和3-3中，點(diǎn)M在點(diǎn)E的左側(cè)

則有如下兩個(gè)臨界位置：

如圖3-2，設(shè)ET是⊙M的切線，連接MT，則

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)

解得

如圖3-3，當(dāng)⊙M在直線EF的左側(cè)與EF相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為T，連接MT

∵

∴

∴

∵EF是切線

∴

∴

∵

∴

∴，即

解得，即

解得

結(jié)合圖象得，當(dāng)時(shí)，線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙M的伴隨點(diǎn)

綜上，m的取值范圍是或．