如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(0,-4)、B(x1,0)、C(x2,0)三點,且x2-x1=5.
(1)求b、c的值;
(2)在拋物線上求一點D,使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形;
(3)在拋物線上是否存在一點P,使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形?若存在,求出點P的坐標,并判斷這個菱形是否為正方形;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)把A(0,-4)代入可求c,運用兩根關系及x2-x1=5,對式子合理變形,求b;
(2)因為菱形的對角線互相垂直平分,故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上,滿足條件的D點,就是拋物線的頂點;
(3)∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形,∴PH垂直平分OB,求出OB的中點坐標,代入拋物線解析式即可,再根據(jù)所求點的坐標與線段OB的長度關系,判斷是否為正方形.
解答:解:(1)解法一:∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(0,-4),
∴c=-4
又∵由題意可知,x1、x2是方程-x2+bx+c=0的兩個根,
∴x1+x2=b,x1x2=-c
由已知得(x2-x12=25
又∵(x2-x12=(x2+x12-4x1x2
=b2-24
b2-24=25
解得b=±
當b=時,拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上,不合題意,舍去.
∴b=-
解法二:∵x1、x2是方程-x2+bx+c=0的兩個根,
即方程2x2-3bx+12=0的兩個根.
∴x=,
∴x2-x1==5,
解得b=±
當b=時,拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上,不合題意,舍去.
∴b=-

(2)∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì),點D必在拋物線的對稱軸上,
又∵y=-x2-x-4=-(x+2+
∴拋物線的頂點(-,)即為所求的點D.

(3)∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形,點B的坐標為(-6,0),根據(jù)菱形的性質(zhì),點P必是直線x=-3與
拋物線y=-x2-x-4的交點,
∴當x=-3時,y=-×(-3)2-×(-3)-4=4,
∴在拋物線上存在一點P(-3,4),使得四邊形BPOH為菱形.
四邊形BPOH不能成為正方形,因為如果四邊形BPOH為正方形,點P的坐標只能是(-3,3),但這一點不在拋物線上.
點評:本題考查了拋物線解析式的求法,根據(jù)菱形,正方形的性質(zhì)求拋物線上符合條件的點的方法.
練習冊系列答案
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(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
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,求這時點P的坐標.

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k
x
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k
x
的解析式為( 。

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(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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