Question

已知，△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．

1.如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，

①求證：∠ADB=∠AFC；②請直接判斷結(jié)論∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；

2.如圖2，當(dāng)點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，結(jié)論∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？請寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

3.如圖3，當(dāng)點D在邊CB的延長線上時，且點A、F分別在直線BC的異側(cè)，其他條件不變，請補全圖形，并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系．

 

Answer 1

 

1.①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°．

∵∠DAF=60°，∴∠BAC=∠DAF．∴∠BAD=∠CAF．

∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=AF．

∴△ABD≌△ACF．∴∠ADB=∠AFC．

②結(jié)論：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．

2.結(jié)論∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．

∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關(guān)系是：

∠AFC=∠ACB∠DAC（或這個等式的正確變式）．

證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC= 60°．

∵∠DAF = 60°，∴∠BAC=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF．

∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=AF．

∴△ABD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．

又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，

∴∠AFC=∠ACB－∠DAC

3.補全圖形如下圖：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關(guān)系是：∠AFC=2∠ACB－∠DAC（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及這兩個等式的正確變式）．

解析:（1）此題只需由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判斷兩三角形全等得出∠ADB=∠AFC；

（2）此題應(yīng)先判斷得出正確的等量關(guān)系，然后再根據(jù)△ABD≌△ACF即可證明；

（3）此題只需補全圖形后由圖形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系．