Question

如圖（1），（2），牧童在點A處放牛，其家住在點B處，點A、B到河岸CD的距離分別為AC和BD．
（1）若AC=BD，請在河邊找一點O使他把牛牽到河邊O處飲水再回家的路程最短．已知點A到CD中點的距離為500米，
①用我們所學(xué)知識作圖找出O點，請問O是否是CD的中點？請說明理由．
②求牧童從A處把牛牽到河邊O處飲水，再回家的最短路程路程．
（2）當(dāng)AC≠BD時若AC=400米，BD=500米，則牧童在河岸CD的何處牽牛飲水，才能使牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家的路程最短？請畫出圖形，并把此點記為O．若已知S_△AOC=80000平方米，S_△BOD=125000平方米，請求出CO和DO的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和“兩點之間線段最短”，連接A′B，得到最短距離為A′B，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和A到河岸CD的中點的距離為500米，即可求出A'B的值；
（2）利用三角形面積求法求出CO，DO的長即可．

解答：解：（1）①作出A的對稱點A′，連接A′B與CD相交于O，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是A′B的長．
易得△A′CO≌△BDO，
AC=BD，所以A′C=BD，則

A′C

BD

=

CO

OD

，
所以CO=DO，O為CD的中點；

②由于A到河岸CD的中點的距離為500米，
所以A′到M的距離為500米，
A′B=1000米．
故最短距離是1000米．

（2）∵AC=400米，BD=500米，
∴S_△AOC=

1

2

CO×AC=

1

2

×400×CO=80000（平方米），
解得：CO=400（m），
S_△BOD=

1

2

×BD×DO=

1

2

×500×DO=125000平方米，
解得：DO=500（m），
則CO和DO的距離分別為：400m，500m．

點評：此題考查了軸對稱的性質(zhì)和“兩點之間線段最短”，解答時要注意應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)．