Question

已知兩直線l₁，l₂分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（－3，0），并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y正半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱軸與直線l₂交于點(diǎn)K，如圖所示．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸被直線l₁、拋物線、直線l₂和x軸依次截得三條線段，問(wèn)這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)直線l₂繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，請(qǐng)找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡(jiǎn)述理由，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)：

 

Answer 1

【答案】

解：由勾股定理，得（OC²+OB²）+（OC²+OA²）=BC²+AC²=AB²，

又∵OB=3，OA=1，AB=4，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是

由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入

函數(shù)解析式得

所以，拋物線的函數(shù)解析式為；

（2）截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF．

（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為時(shí)，△ MCK為等腰三角形．

（i）連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣2，），

又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），則GC∥AB，

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，

∴△CGK為正三角形

∴當(dāng)l₂與拋物線交于點(diǎn)G，即l₂∥AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（﹣2，），

（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，

∴當(dāng)l₂過(guò)拋物線頂點(diǎn)D時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M₂坐標(biāo)為（﹣1，），

（iii）當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足CM=CK，

但點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為時(shí)，△MCK為等腰三角形．

【解析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，由此確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；知道A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法可確定該拋物線的解析式．

（2）先求得直線l₁的解析式為，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，0），即得，從而得到結(jié)果；

（3）從題干的旋轉(zhuǎn)條件來(lái)看，直線l₁旋轉(zhuǎn)的范圍應(yīng)該是l₁、l₂中間的部分，而△MCK的腰和底并不明確，

所以分情況討論：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；求出點(diǎn)K的坐標(biāo)、∠BCO的度數(shù)結(jié)合上述三種情況求解．