Question

如圖，已知直線l經過點A（1，0），與雙曲線y=（x＞0）交于點B（2，1），過點P（p，p-1）（p＞1）作x軸的平行線分別交雙曲線y=（x＞0）和y=-（x＜0）于點M、N。

（1）求m的值和直線l的解析式；
（2）若點P在直線y=2上，求證：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在實數p，使得S_△AMN=4S_△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由點B（2，1）在y=上，有2=，即m=2， 設直線l的解析式為y=kx+b，由點A（1，0），點B（2，1）在y=kx+b上，得 ，解之，得k=1，b=-1， ∴所求直線l的解析式為y=x-1； （2）點P（p，p-1）在直線y=2上， ∴P在直線l上，是直線y=2和l的交點，見圖（1） ∴根據條件得各點坐標為N（-1，2），M（1，2），P（3，2）， ∴NP=3-（-1）=4，MP=3-1=2，AP=， BP=， ∴在△PMB和△PNA中，∠MPB=∠NPA，， ∴△PMB∽△PNA； （3）S△AMN=·（1+1）·2=2，下面分情況討論： ①當1＜p＜3時，延長MP交X軸于Q，見圖（2） 設直線MP為y=kx+b，則有，解得， 則直線MP為； 當y=0時，x=，即點Q的坐標為（，0）， 則， 由2=4·有，解之，p=3（不合，舍去），p=； ②當p=3時，見圖（1）S△AMP=·2·2=2S△AMN，不合題意； ③當p>3時，延長PM交X軸于Q，見圖（3） 此時，S△AMP大于情況②當p=3時的三角形面積S△AMN，故不存在實數p，使得S△AMN=4S△AMP， 綜上，當p=時，S△AMN=4S△AMP。