Question

已知：在直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)是拋物線y=x²-（m-3）x-m與x軸的交點(diǎn)（A在B的右側(cè)），x₁、x₂分別是A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且|x₁-x₂|=3．
（1）當(dāng)m＞0時(shí)，求拋物線的解析式．
（2）如果（1）中所求的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，問y軸上是否存在點(diǎn)D（不含與C重合的點(diǎn)），使得以D、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，請(qǐng)求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，且當(dāng)k＞0時(shí)，圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積是

1

5

，求一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9，x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m，代入求出即可；
（2）求出A、C的坐標(biāo)，求出OA、OC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

OA

OA

=

OD

OC

或

AO

OC

=

OD

OA

，代入求出即可；
（3）求出直線與X、Y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式得到|

1

2

b•（-

b

k

）|=

1

5

，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得到方程，兩方程組成方程組，求出方程組的解即可．

解答：解：（1）x²-（m-3）x-m=0，
x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m，
∵|x₁-x₂|=3，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9，
∴（m-3）²+4m=9，
∵m＞0，
∴m=2，
∴y=x²+x-2=0．
答：當(dāng)m＞0時(shí)，拋物線的解析式是y=x²+x-2．

（2）x²+x-2=0，
x₁=-2，x₂=1，
∴A（1，0），
即OA=1，
把x=0代入得：y=-2，
∴OC=2，
∵以D、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，
∠AOC=∠AOD，
∴

OA

OA

=

OD

OC

或

AO

OC

=

OD

OA

，
代入求出OD=OC=2，或OD=

1

2

，
∴D的坐標(biāo)是（0，2）或（0，

1

2

）．
答：存在點(diǎn)D（不含與C重合的點(diǎn)），使得以D、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，D點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2）或（0，

1

2

）．

（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=b，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-

b

k

，
∴|

1

2

b•（-

b

k

）|=

1

5

，①
y=x²+x-2=(x+

1

2

)2-

9

4

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

1

2

，-

9

4

），
代入y=kx+b得：-

9

4

=-

1

2

k+b ②，
由①②組成方程組，解方程組得：

k=7.9 b=3.7

，

k=2.7 b=1.1

，
∴y=7.9x+3.7，y=2.7x+1.1．
答：一次函數(shù)的解析式是y=7.9x+3.7或y=2.7x+1.1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)相似三角形的性質(zhì)和判定，解二元一次方程組，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．