Question

【題目】如圖1，在一張ABCD的紙片中，ABCD的面積為6，DC＝3，∠BCD＝45°，點(diǎn)P是BD上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，D不重合）．現(xiàn)將這張紙片分別沿BD，AP剪成三塊，并按圖2（注：圖2中的①，②是將圖1中的①，②翻轉(zhuǎn)背面朝上，再拼接而成的）所示放置

（1）當(dāng)點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)時(shí)，求AP的長．

（2）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在BD的什么位置上時(shí)，MN的長最��？請(qǐng)求出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)AP⊥BD時(shí)，MN的長最小，

【解析】

（1）連接AC交BD于P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PD＝PB，即點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，過D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到PE＝DH，BE＝BH，根據(jù)已知條件得到DH＝2，解直角三角形即可得到結(jié)論；

（2）由題意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，于是得到∠MCN＝90°，當(dāng)AP⊥BD時(shí)，MN的長最小，過D作DH⊥AB于H，根據(jù)勾股定理得到BD＝＝，根據(jù)三角形的面積公式得到AP＝，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：（1）連接AC交BD于P，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴PD＝PB，即點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，

過D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，

∴PE∥DH，

∴PE＝DH，BE＝BH，

∵ABCD的面積為6，DC＝3，

∴DH＝2，

∴PE＝1，

∵∠BCD＝45°，

∴∠DAB＝45°，

∴AH＝DH＝2，

∴BH＝1，

∴HE＝BE＝，

∴AE＝，

∴AP＝＝；

（2）由題意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，

∴∠MCD+∠NCB＝45°，

∴∠MCN＝90°，

當(dāng)AP⊥BD時(shí)，MN的長最小，

過D作DH⊥AB于H，

由（1）求得DH＝2，BH＝1

∴BD＝＝ ，

∵AP⊥BD，

∴S△ABD＝ABDH＝BDAP，

∴AP＝，

∴CM＝CN＝AP＝，

∴MN＝＝，

∴MN長的最小值是．