Question

如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，點(diǎn)E在邊BA上以每秒2個(gè)單位的速度由B向A移動(dòng)，過(guò)E作EF∥BC交AC于F，再過(guò)F作FD∥AB交BC于D，設(shè)E移動(dòng)的時(shí)間為x（秒），EF為 y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)x=______，四邊形BDFE是菱形．
（3）設(shè)四邊形BDFE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求E在AB邊上何處時(shí)，四邊形BDFE的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）證△AEF∽△ABC，得出比例式，代入求出即可；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)得出BE=EF，代入得出關(guān)于x的方程，求出x即可；
（3）求出∠BAC=90°，作EG⊥BD于G，證△ABC∽△GBE，得出=，求出EG=x，根據(jù)平行四邊形面積公式得出S=x•（-x+10），求出函數(shù)的最值即可．
解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴y=-x+10；

（2）∵四邊形BEFD是菱形，
∴BE=EF，
即2x=-x+10，
解得：x=；

（3）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
作EG⊥BD于G，
∵在△ABC和△GBE中，∠ABC=∠GBE，∠BAC=∠BGE，
∴△ABC∽△GBE，
∴=，
∴=，
∴EG=x，
∴S=x•（-x+10）
=-（x-1.5）²+12，
∴當(dāng)x=1.5時(shí)，S的最大值為12，此時(shí)2x=3，
當(dāng)點(diǎn)E在AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BDEF的面積最大，最大面積為12．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，二次函數(shù)的最值，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力．