半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點C和動點P，已知 BC∶CA=4∶3，點P在弧AB上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q。
（1）求證：△ABC∽△PQC；
（2）當(dāng)點P與點C關(guān)于AB對稱時，求CQ的長；
（3）當(dāng)點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長；
（4）當(dāng)點P運動到弧AB的中點時，求CQ的長。
解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB =90°，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴△ABC∽△PQC；
（2）當(dāng)點P運動到與點C關(guān)于AB對稱時，此時CP⊥直徑AB于D，
∴CP=2CD，
∵AB=10，
BC∶CA=4∶3，
∴BC=8，AC=6，
又∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=4.8，
∴CP=2CD=9.6，
∵△ABC∽△PQC，
∴，
∴CQ=12.8，
（3）因為點P在⊙O上運動過程中，始終有△ABC∽△PQC，
所以PC最大時，CQ取到最大值，
∴當(dāng)PC過圓心O，即PC 取最大值10時，CQ最大，最大為；
（4）當(dāng)點P運動到弧CP的中點時，如圖所示，過點B作BE⊥PC于點E，
∵P是弧AB的中點，∠PCB=45°，
∴∠PCA=45°，在Rt△CBE中，
 ∴CE=BE=4，
易證：△ABC∽△PBE，
∴PE=3，
∴CP=7，
∴CQ=7×=。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖（Ⅰ），在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O′是以點O′（2，-2）為圓心，半徑為2的圓，⊙O″是以點O″（0，4）為圓心，半徑為2的圓．
（1）將⊙O′豎直向上平移2個單位，得到⊙O1，將⊙O″水平向左平移1個單位，得到⊙O2如圖（Ⅱ），分別求出⊙O1和⊙O2的圓心坐標(biāo)．
（2）兩圓平移后，⊙O2與y軸交于A、B兩點，過A、B兩點分別作⊙O2的切線，交x軸與C、D兩點，求△O2AC和△O2BD的面積．精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（12分）某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點A出發(fā)，沿水平直線軌道運動L后，由B點進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在平直軌道上運動到C點，并越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.4W工作，水平軌道的摩擦阻力恒為0.20N。圖中L=10.0m，BC=1.5m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.5m。重力加速度g取10m/s2。求：

（1）賽車要越過壕溝，離開C點的速度至少多大？
（2）賽車要通過光滑豎直軌道，剛進(jìn)入B點時的最小速度多大？賽車的電動機(jī)在AB段至少工作多長時間？
（3）要使賽車完成比賽，賽車離開光滑豎直軌道后，電動機(jī)在BC段是否還要繼續(xù)工作？（要通過計算回答）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（12分）某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點A出發(fā)，沿水平直線軌道運動L后，由B點進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在平直軌道上運動到C點，并越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.4W工作，水平軌道的摩擦阻力恒為0.20N。圖中L=10.0m，BC=1.5m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.5m。重力加速度g取10m/s2。求：

（1）賽車要越過壕溝，離開C點的速度至少多大？
（2）賽車要通過光滑豎直軌道，剛進(jìn)入B點時的最小速度多大？賽車的電動機(jī)在AB段至少工作多長時間？
（3）要使賽車完成比賽，賽車離開光滑豎直軌道后，電動機(jī)在BC段是否還要繼續(xù)工作？（要通過計算回答）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（12分）某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點A出發(fā)，沿水平直線軌道運動L后，由B點進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在平直軌道上運動到C點，并越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.4W工作，水平軌道的摩擦阻力恒為0.20N。圖中L=10.0m，BC=1.5m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.5m。重力加速度g取10m/s2。求：

（1）賽車要越過壕溝，離開C點的速度至少多大？
（2）賽車要通過光滑豎直軌道，剛進(jìn)入B點時的最小速度多大？賽車的電動機(jī)在AB段至少工作多長時間？
（3）要使賽車完成比賽，賽車離開光滑豎直軌道后，電動機(jī)在BC段是否還要繼續(xù)工作？（要通過計算回答）

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