Question

如圖所示，四邊形ABCD為正方形，△BEF為等腰直角三角形（∠BFE=90°，點(diǎn)B、E、F按逆時(shí)針順序），P為DE的中點(diǎn)，連接PC、PF．
（1）如圖（1），E點(diǎn)在邊BC上，則線段PC、PF的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，位置關(guān)系為_(kāi)_____（不需要證明）．
（2）如圖（2），將△BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜45），則線段PC、PF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并證明．
（3）如圖（3），E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖中的位置，其它條件不變，完成圖（3），則線段PC、PF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不需要證明．

Answer 1

（1）∵∠BFE=90°，點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)
∴PF=PD=PE，
同理可得PC=PD=PE，
∴PC=PF，
又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，
∴∠FPC=2∠FDC=90°，
所以PC=PF，PC⊥PF．
故答案為：相等、垂直；

（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：
延長(zhǎng)FP至G使PG=PF，連DG，GC，F(xiàn)C，延長(zhǎng)EF交BD于N，如圖，
∵點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，
∴△PDG≌△PEF，
∴DG=EF=BF．
∴∠PEF=∠PDG，
∴EN∥DG，
∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°-∠NBF=90°-（45°-∠FBC）
∴∠FBC=∠GDC，
∴△BFC≌△DGC，
∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．
∴∠FCG=∠BCD=90°．
∴△FCG為等腰Rt△，
∵PF=PG，
∴PC⊥PF，PF=PC；

（3）畫(huà)圖：
線段PC、PF有何數(shù)量關(guān)系相等，位置關(guān)系垂直．