Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A為第二象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸垂線交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且OB、OC的長(zhǎng)分別為方程x²-4x+3=0的兩根（OB＜OC）．
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）作直線AC，過點(diǎn)C作射線CE⊥AC于C，在射線CE上有一點(diǎn)M（5，2），求直線AC的解析式；
（3）在（2）的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q和點(diǎn)P（點(diǎn)P在直線AC上），使以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意OB，OC分別為方程x²-4x+3=0的兩根，求解后可求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)．
（2）設(shè)CE的直線解析式為y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可得解析式，然后根據(jù)CE⊥AC求出直線AC的解析式即可．
（3）已知點(diǎn)P在直線AC上，要作以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的菱形，CP=OC，根據(jù)OC的長(zhǎng)度，并且依據(jù)直線AC的解析式，即可求得P的坐標(biāo)，OC必須平行且相等于QP，即可求得Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3．
依題意得點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，0），C（3，0）．

（2）設(shè)CE的直線解析式為y=kx+b，把點(diǎn)C，M的坐標(biāo)代入可得

0=3k+b 2=5k+b

?

k=1 b=-3

．
得出CE的直線解析式為y=x-3，
又因?yàn)橹本�CE⊥AC，故直線AC的解析式為y=-x+3．

（3）存在．
Q₁（3，3）；Q₂（-

3 2

2

，

3 2

2

）；Q₃（

3 2

2

，-

3 2

2

）；Q₄（

3

2

，-

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，菱形的性質(zhì)以及一元二次方程的有關(guān)知識(shí)，難度中等．