Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從D、C同時出發(fā)，P在線段DA上沿DA方向以每秒的速度勻速運動，Q在線段CD上沿CD方向以每秒1cm的速度勻速運動．設運動時間為t秒．
（1）用t的式子表示△DPQ的面積S；
（2）四邊形DPBQ的面積是否隨著時間t的變化而變化？說明理由；
（3）當△DPQ與△PAB和△QPB都相似時，求tan∠DPQ的值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得，CQ=t，DQ=8-t，DP=t，AP=8-t，
∴S_△DPQ=•（8-t）•t=-t²+4t（0＜t＜8）；

（2）四邊形DPBQ的面積不隨著時間t的變化而變化，它等于32．理由如下：
∵S_{四邊形DPBQ}=S_矩形ABCD-S_△BCQ-S_△ABP=8•8-•8•t-•8•（8-t）=32，
∴四邊形DPBQ的面積不隨著時間t的變化而變化；

（3）∵△PAB和△PDQ都為直角三角形，
而△DPQ與△PAB和△QPB都相似，
∴△QPB是直角三角形，
∴∠BPQ=90°，
∴∠QPD=∠PBA，
∴Rt△PDQ∽Rt△BAP，
∴DQ：AP=DP：AB，即（8-t）：（8-t）=t：8，
即t²-12t+32=0，解得t₁=4，t₂=8（舍去），
∴t=4，
∴DQ=4，DP=4，
∴tan∠DPQ==．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得CQ=t，DQ=8-t，DP=t，AP=8-t，再利用三角形的面積公式得到S_△DPQ=•（8-t）•t．
（2）利用S_{四邊形DPBQ}=S_矩形ABCD-S_△BCQ-S_△ABP可求得它的面積=32．
（3）由△PAB和△PDQ都為直角三角形得到△QPB是直角三角形，分析題意只有∠BPQ=90°，則Rt△PDQ∽Rt△BAP，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到DQ：AP=DP：AB，即（8-t）：（8-t）=t：8，解出t即可得到DQ和DP，然后根據(jù)正切的定義即可得到tan∠DPQ的值．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：有兩個角對應相等的兩三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．