Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，，AD=6．
（1）求證：△ABE∽△ADB；
（2）延長DB到F，使BF=BO，連接FA，求證：FA是⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）∵弧AB=弧AC，
∴∠D=∠ABC，
又∵∠BAE為公共角，
∴△ABE∽△ADB．

（2）連接AO，
∵BD為直徑，
∴∠BAD=90°，
又∵，AD=6，
∴BD=4，
∴AO=BO=OD=，
∴BF=AB=BO，
∴△AFO是直角三角形，
∴∠FAO=90°，
∴FA是⊙O的切線．
分析：由圖知∠C=∠D，∠BAE為公共角所以很容易判斷△ABE∽△ADB；
若要證明FA是⊙O的切線，則需要證得AO⊥AF或證明△AFO是直角三角形即可．
點評：本題考查了相似三角形的判定和切線的判定，常見的相似判定方法有AA，SAS，SSS；切線的判定是：連接圓心和某一點再證垂直．