Question

（2007•海淀區(qū)一模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點(diǎn)．將射線AM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋45°得到射線AN．點(diǎn)D為AM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為AN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在∠MAN的內(nèi)部．
（1）求線段AC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時(shí)，求△BCD的面積；
（3）求△BCD周長(zhǎng)的最小值；
（4）當(dāng)△BCD的周長(zhǎng)取得最小值，且時(shí)，△BCD的面積為______．（第（4）問需填寫結(jié)論，不要求書寫）

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)橹本�與x軸、y軸分別交于C、A兩點(diǎn)，所以分別令y=0，x=0，即可求出點(diǎn)C、點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求出OA、OC的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出AC=4；
（2）因?yàn)锳M∥x軸，且四邊形ABCD為梯形，所以需分情況討論：
①當(dāng)AD∥BC時(shí)，因?yàn)閷⑸渚�AM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋45°得到射線AN，點(diǎn)B為AN上的動(dòng)點(diǎn)，所以∠DAB=45度．利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABO=45°，OB=OA=2，又因，所以，所以．
②當(dāng)AB∥DC時(shí)，△BCD的面積=△ADC的面積，因?yàn)镺A=2，OC=2，AC=4，所以∠DAC=∠ACO=30°，作CE⊥AD于E，因?yàn)椤螮DC=∠DAB=45°，所以EC=ED=0.5AC=2，AE=2，所以AD=2-2，S_△BCD=．
（3）可作點(diǎn)C關(guān)于射線AM的對(duì)稱點(diǎn)C₁，點(diǎn)C關(guān)于射線AN的對(duì)稱點(diǎn)C₂．由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可知CD=C₁D，CB=C₂B．
∴CB+BD+CD=C₂B+BD+C₁D=C₁C₂，并且有∠C₁AD=∠CAD，∠C₂AB=∠CAB，AC₁=AC₂=AC=4．∠C₁AC₂=90°．
連接C₁C₂．利用兩點(diǎn)之間線段最短，可得到當(dāng)B、D兩點(diǎn)與C₁、C₂在同一條直線上時(shí)，△BCD的周長(zhǎng)最小，最小值為線段C₁C₂的長(zhǎng)．
（4）根據(jù)（3）的作圖可知四邊形AC₁CC₂的對(duì)角互補(bǔ)，因此，∠C₂C C₁=135°．
利用∠B CC₂+∠DCC₁+∠BCD=135°，∠BC₂C+∠DC₁C+∠BCC₂+∠DCC₁+∠BCD=180°，結(jié)合軸對(duì)稱可得∠BCD=90°．
利用勾股定理得到CB²+CD²=BD²=（）²，因?yàn)镃B+CD=4-，可推出CB•CD的值，進(jìn)而求出三角形的面積．
解答：解：（1）∵直線y=與x軸、y軸分別交于C、A兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）．
∴AC=4．

（2）當(dāng)AD∥BC時(shí)，
依題意，可知∠DAB=45°，
∴∠ABO=45°．
∴OB=OA=2．
∵OC=2，
∴BC=2-2．
∴S_△BCD=BC•OA=2-2．
當(dāng)AB∥DC時(shí)，
可得S_△BCD=S_△ACD．
設(shè)射線AN交x軸于點(diǎn)E，
∵AD∥x軸，
∴四邊形AECD為平行四邊形．
∴S_△AEC=S_△ACD．
∴S_△BCD=S_△AEC=CE•OA=2-2．
綜上所述，當(dāng)AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時(shí)，S_△BCD=2-2．

（3）作點(diǎn)C關(guān)于射線AM的對(duì)稱點(diǎn)C₁，點(diǎn)C關(guān)于射線AN的對(duì)稱點(diǎn)C₂．
由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可知CD=C₁D，CB=C₂B．
∴CB+BD+CD=C₂B+BD+C₁D=C₁C₂連接AC₁、AC₂，
可得∠C₁AD=∠CAD，∠C₂AB=∠CAB，AC₁=AC₂=AC=4．
∵∠DAB=45°，
∴∠C₁AC₂=90°．
連接C₁C₂．
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴當(dāng)B、D兩點(diǎn)與C₁、C₂在同一條直線上時(shí)，△BCD的周長(zhǎng)最小，最小值為線段C₁C₂的長(zhǎng)．
∴△BCD的周長(zhǎng)的最小值為4．

（4）根據(jù)（3）的作圖可知四邊形AMCN的對(duì)角互補(bǔ)，其中∠DAB=45°，因此，∠C₂C C₁=135°．
∵∠B CC₂+∠DCC₁+∠BCD=135°，∠BC₂C+∠DC₁C+∠BCC₂+∠DCC₁+∠BCD=180°，
∠BC₂C=∠BCC₂，
∠DCC₁=∠DC₁C，
∴∠BCD=90°．
∴CB²+CD²=BD²=（）²
∵CB+CD=4-，
∴2CB•CD=（）²-（）²∴．
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用軸對(duì)稱、勾股定理來(lái)解決問題，另外解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．