Question

（2012•金東區(qū)一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，以AB為直徑的⊙O交對角線AC于點F，點E在⊙O上（E，F分別在直徑AB的兩側）．
（1）求∠AEF的度數；
（2）若AE=7，求∠AFE的正弦值；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接BF，易得即點F是對角線AC與BD的交點，即可得∠ABF=45°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠AEF的度數；
（2）首先連接BE，由AB是直徑，即可得∠AEB=90°，然后在Rt△ABE中，由三角函數的定義，即可求得∠ABE的正弦值，繼而求得∠AFE的正弦值；
（3）連接OF，由S_陰影=S_梯形OBCF-S_扇形BOF，即可求得答案．

解答：解：（1）連接BF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴點B，F，D共線，
即點F是對角線AC與BD的交點，
∴∠ABF=45°，
∴∠AEF=∠ABF=45°；                                           

（2）連接BE，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=8，AE=7，
∴sin∠ABE=

AE

AB

=

7

8

，
∵∠ABE=∠AFE，
∴∠AFE的正弦值為

7

8

；                                             

（3）連接OF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AF=BF，
∵OA=OB，
∴OF⊥AB，
即∠BOF=90°，
∴S_陰影=S_梯形OBCF-S_扇形BOF=

1

2

×（OF+BC）×OB-

1

4

π×（OB）²=

1

2

×（4+8）×4-

1

4

×π×16=24-4π．
∴陰影部分的面積為24-4π．

點評：此題考查了正方形的性質、圓周角定理、三角函數的定義以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．