Question

有沒有這樣的質(zhì)數(shù)，當(dāng)它加上10和14時(shí)仍為質(zhì)數(shù)．若有，求出來；若沒有，請證明．

Answer 1

答案：
解析：

因?yàn)?/FONT>2＋10＝12，2＋14＝16，所以質(zhì)數(shù)2不適合， 因?yàn)?/FONT>3＋10＝13，3＋14＝17，所以質(zhì)數(shù)3符合要求， 因?yàn)?/FONT>5＋10＝15，5＋14＝19，所以質(zhì)數(shù)5不合要求， 因?yàn)?/FONT>7＋10＝17，7＋14＝21，所以質(zhì)數(shù)7不適合， 因?yàn)?/FONT>11＋10＝21，11＋14＝25，所以質(zhì)數(shù)11不適合， …… 從上面的觀察，3合乎要求，但符合條件的質(zhì)數(shù)是否只有3呢？這必須加以證明．證明除了3以外的所有正整數(shù)加上10和14均不能是質(zhì)數(shù)．為此，把正整數(shù)按除3同余分類，即：3k－1，3k＋1(k為正整數(shù))． 因?yàn)?/FONT>(3k－1)＋10＝3k＋9＝3(k＋3)是合數(shù)，(3k＋1)＋14＝3k＋15＝3(k＋5)是合數(shù)，所以3k－1和3k＋1這兩類整數(shù)中的質(zhì)數(shù)加上10和14后不能都是質(zhì)數(shù)． 因此，在3k－1和3k＋1兩類整數(shù)中的質(zhì)數(shù)加上10和14后當(dāng)然不能都是質(zhì)數(shù)． 對于3k這類整數(shù)，只有在k＝1時(shí)，3k才是質(zhì)數(shù)，其余均為合數(shù)． 所以所求的質(zhì)數(shù)只有3．

提示：

可以采取先實(shí)驗(yàn)，觀察，猜測出結(jié)論，然后證明．