Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如圖所示），∠BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE．
（1）在下圖中，用尺規(guī)作∠BAD的平分線AE（保留作圖痕跡不寫作法），并證明四邊形ABED是菱形．
（2）若∠ABC=60°，EC=2BE．求證：ED⊥DC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)尺規(guī)作圖：角的平分線的基本作法，可得到∠BAD的平分線AE；利用菱形的判定定理，即可證得；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)定理，可得△EDC是直角三角形，即可得ED⊥DC．
解答：證明：（1）在△ABE與△ADE中，
∵，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠AEB=∠AED，
∵AD∥BE，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠BAE=∠AED，
∴AB∥DE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴四邊形ADBE為菱形；

（2）取EC的中點F，連接DF．

∵四邊形ABED是菱形，
∴EC=2BE=2DE=2EF=2CF，∠CED=∠ABC=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴DF=EF=CF，∠DFE=60°，
∴∠CDF+∠C=∠DFE=60°=2∠C
即∠C=30°
∴∠EDC=90°
即ED⊥DC．
點評：本題考查了尺規(guī)作圖及菱形、直角三角形的性質(zhì)及判定，綜合性較強，鍛煉了學(xué)生的動手、動腦的能力．