Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，拋物線交y軸于點C（0，3），點D為拋物線的頂點．直線y=x-1交拋物線于點M、N兩點，過線段MN上一點P作y軸的平行線交拋物線于點Q．
（1）求此拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）問點P在何處時，線段PQ最長，最長為多少；
（3）設(shè)E為線段OC上的三等分點，連接EP，EQ，若EP=EQ，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法將A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）就可以求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式和直線的解析式及PQ⊥x軸可以設(shè)出P點的橫坐標(biāo)，從而可以表示出P、Q的坐標(biāo)，再利用P、Q的縱坐標(biāo)之差表示出PQ的長，最后利用拋物線的最值就可以求出PQ的值及P點的坐標(biāo)．
（3）由條件求出E點的坐標(biāo)，再由條件表示出P、Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點間的距離公式就可以分情況求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C（0，3），由題意，得

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；

（2）∵PQ⊥x軸，
∴P、Q的橫坐標(biāo)相同，
∵P點在直線y=x-1上，設(shè)P（a，a-1），則Q（a，-a²+2a+3），
∴PQ=-a²+2a+3-a+1=-a²+a+4，
∴PQ=-（a-

1

2

）²+

17

4

，
∴當(dāng)a=

1

2

時，線段PQ最長為

17

4

，則P點坐標(biāo)為（

1

2

，-

1

2

）；

（3）∵E為線段OC上的三等分點，且OC=3，
∴E（0，1）或E（0，2），
設(shè)P（p，p-1）（在y=x-1上），則Q（p，-p²+2p+3）．
當(dāng)E（0，1）時，
∵EP=EQ，
∴（p-0）²+（p-1-1）²=（p-0）²+（-p²+2p+3-1）²，
∴p²+（p-2）²=p²+（p²-2p-2）²，
（p-2）²=（p²-2p-2）²，
①當(dāng) p²-2p-2=p-2時，
∴p（p-3）=0，
∴p=0或3，
當(dāng)p=0，P（0，-1），Q（0，3），
當(dāng)p=3，P（3，2），Q（3，0），
過線段MN上一點P作y軸的平行線交拋物線于點Q．
∵直線y=x-1交拋物線于點M、N兩點，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得：x₁=

1- 17

2

，x₂=

1+ 17

2

，
M的橫坐標(biāo)為

1- 17

2

，N點的橫坐標(biāo)為

1+ 17

2

，
∴P點橫坐標(biāo)：大于等于

1- 17

2

小于等于

1+ 17

2

，
∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去；
②p²-2p-2=-p+2，
整理得：p²-p-4=0，
解得：P₁=

1- 17

2

，p₂=

1+ 17

2

，
∵直線y=x-1交拋物線于點M、N兩點，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得：x₁=

1- 17

2

，x₂=

1+ 17

2

，
M的橫坐標(biāo)為

1- 17

2

，N點的橫坐標(biāo)為

1+ 17

2

，
∵過線段MN上一點P作y軸的平行線交拋物線于點Q．
∴P點橫坐標(biāo)：大于等于

1- 17

2

小于等于

1+ 17

2

，
當(dāng)E（0，2）時，
∵EP=EQ，
∴（p-0）²+（p-1-2）²=（p-0）²+（-p²+2p+3-2）²，
p²+（p-3）²=p²+（p²-2p-1）²，
∴（p-3）²=（p²-2p-1）²．
③當(dāng) p²-2p-1=p-3時，
∴（p-1）（p-2）=0
∴p=1或2．
當(dāng)p=1時，P（1，0），Q（1，4）
當(dāng)p=2時，P（2，1），Q（2，3）
④p²-2p-1=-p+3
p²-p-4=0，
解得：P₁=

1- 17

2

＜-1，p₂=

1+ 17

2

＞2，
P（

1- 17

2

，

- 17 -1

2

）或（

1+ 17

2

，

17 -1

2

）．
綜上所述，P點的坐標(biāo)為：P（0，-1），P（1，0），P（2，1），P（

1- 17

2

，

- 17 -1

2

）或（

1+ 17

2

，

17 -1

2

）．
∵點P在線段MN上，
∴P點的坐標(biāo)為：P（0，-1），P（1，0），P（2，1）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定及性質(zhì)，兩點間的距離公式的運用，二次函數(shù)最值的運用．