Question

如圖①.小意同學(xué)把一個(gè)正三角形紙片(即△OAB)放在直線l₁上，OA邊與直線1₁重合.然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn) A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₁ 處，點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₁處；小慧又將三角形紙片 AO₁B₁ 繞B, 點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A₁處. 點(diǎn)O₁運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₂ 處(即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O₂ 處).     
小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO₁和弧O₁O₂頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩圓弧的長(zhǎng)度之和，并且這兩端圓弧與直線l₁圍成的圖形面積等于扇形AOO₁的面積、△AO₁B₁的面積和扇形B₁ O₁O₂的面積之和.    
小意進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線1₂ 上，OA邊與直線l₂ 重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°.此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₁處(即點(diǎn)B處)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C₁ 處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₁處；小意又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：
問題①：若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn).求頂點(diǎn)0經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線12 圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過5 次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程；
問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是  請(qǐng)你解答上述兩個(gè)問題

Answer 1

解：?jiǎn)栴}①：如圖. 正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段弧.即孤OOl、弧O1O2 以及弧O2O3 ∴頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的路程為     頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線12 圍成圖形的面積為= 1+π.     正方形OABC經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn).項(xiàng)點(diǎn)O經(jīng)過的路程為     問題②：∵方形 OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)，. 頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程為 ∴ 正方形紙片OABC經(jīng)過了81次旋轉(zhuǎn).