Question

已知二次函數y=（x-1）（x-4）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C．
（1）求出A、B、C三點的坐標；
（2）求△ABC的面積；
（3）在y軸上是否存在點P，使P、A、C能組成以AC為腰的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）當x=0時y=（-1）×（-4）=4
∴C的坐標（0，4）
當y=0時設（x-1）（x-4）=0
解得x₁=1 x₂=4
∵A在B的左邊
∴A（1，0）B（4，0）…（2分）

（2）∵C（0，4）、A（1，0）、B（4，0）
∴OC=4 AB=3
∴S_△ABC=OC•AB=6 …（4分）

（3）存在．
設點P的坐標為（0，y），
由（2）知OC=4，OA=1
在RT△AOC中AC=
∴C為頂角的頂點時，則CP=AC，
即
解得
∴當P為（0，）或（0，）時P、A、C組成的AC為腰的等腰△…（6分）
∴A為頂角的頂點時，則AC=AP
∵OA⊥PC
∴OC=OP …（8分）
即|y|=4，
解得y₁=-4，y₂=4（舍去）
∴當P（0，-4）時P、A、C組成了以AC為腰的等腰△…（8分）
綜上所述當P的坐標為（），（），（0，-4）時是P、A、C組成了以AC為腰的等腰△…（9分）
分析：（1）令x=0，代入二次函數求得y的值作為與y軸交點坐標的縱坐標，將y=0代入二次函數求得x的值作為與x軸交點的橫坐標；
（2）利用上題求得的與坐標軸的交點坐標得到OC=4、AB=3，就可以求S_△ABC；
（3）假設存在．設點P的坐標為（0，y），分C為頂角的頂點時和A為頂角的頂點時兩種情況求得點P的坐標即可．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，解題的關鍵是正確的求出拋物線與坐標軸的交點坐標，這是下一步做題的基礎．