Question

如圖1，點E為矩形ABCD邊AD上一點，點P，點Q同時從點B出發(fā)，點P沿BE→ED→DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，它們的運動速度都是1cm/s，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時，△BPQ的面積為ycm²，已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：
①AD=BE=5cm；
②當(dāng)0＜t≤5時，y=t²；
③直線NH的解析式為y=-t+27；
④若△ABE與△QBP相似，則t=秒，
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點P到達(dá)點E時點Q到達(dá)點C，從而得到BC、BE的長度，再根據(jù)M、N是從5秒到7秒，可得ED的長度，然后表示出AE的長度，根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后針對各小題分析解答即可．
解答：解：根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點P到達(dá)點E時點Q到達(dá)點C，
∵點P、Q的運動的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5cm，
∴AD=BE=5，故①正確；

如圖（1）過點P作PF⊥BC于點F，
根據(jù)面積不變時△BPQ的面積為10，可得AB=4，

∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB==，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴當(dāng)0＜t≤5時，y=BQ•PF=t•t=t²，故②選項正確；

根據(jù)5-7秒面積不變，可得ED=2，
當(dāng)點P運動到點C時，面積變?yōu)?，此時點P走過的路程為BE+ED+DC=11，
故點H的坐標(biāo)為（11，0），
設(shè)直線NH的解析式為y=kx+b，
將點H（11，0），點N（7，10）代入可得：，
解得：，
故直線NH的解析式為：y=-x+．故③錯誤；

如圖所示，當(dāng)△ABE與△QBP相似時，點P在DC上，如圖2所示：
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=，
∴=，即=，
解得：t=．
綜上可得①②④正確，共3個．
故選B．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用及動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖（2）判斷出點P到達(dá)點E時，點Q到達(dá)點C是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口，難度較大．