Question

已知：如圖所示，AC⊥CD，BD⊥CD．線段AB的垂直平分線EF交AB于點E，交CD于點F，且AC=FD=3，CF=1求線段AB的長度．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質,勾股定理

專題：

分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AF=BF，再利用“HL”證明Rt△ACF與Rt△FDB全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CAF=∠DFB，然后求出∠AFB=90°，再利用勾股定理列式求出AF，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：∵EF是AB的垂直平分線，
∴FA=FB，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴△ACF與△FDB是直角三角形．
在Rt△ACF與Rt△FDB中，

AF=BF AC=FD

，
∴Rt△ACF≌Rt△FDB（HL），
∴∠CAF=∠DFB，
∵∠C=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∴∠CFA+∠BFD=90°，
∴∠AFB=90°，
∴△ABF是等腰直角三角形．
∵AC=3，CF=1，
∴AF²=AC²+CF²=3²+1²=10，
∴AB=

AF2+BF2

=

10+10

=2

5

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定方法并確定出全等三角形是解題的關鍵．