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拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1，已知：A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面積的比；
（3）在對稱軸是否存在一個點P，使△PAC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】分析：（1）根據拋物線的對稱軸即可得出點B的坐標，然后將A、B、C三點坐標代入拋物線中即可求得二次函數的解析式．
（2）由于兩三角形等高，那么面積比就等于底邊的比，據此求解即可．
（3）本題的關鍵是確定P點的位置，根據軸對稱圖形的性質和兩點間線段最短，可找出C點關于拋物線對稱軸的對稱點，然后連接此點和A，那么這條直線與拋物線對稱軸的交點就是所求的P點．可先求出這條直線的解析式然后聯立拋物線對稱軸的解析式即可求得P點坐標．
解答：解：（1）∵A，B兩點關于x=1對稱，
∴B點坐標為（3，0），
根據題意得：，
解得a=1，b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3．

（2）△AOC和△BOC的面積分別為S△AOC=|OA|•|OC|，S△BOC=|OB|•|OC|，
而|OA|=1，|OB|=3，
∴S△AOC：S△BOC=|OA|：|OB|=1：3．

（3）存在一個點P．C點關于x=1對稱點坐標C'為（2，-3），
令直線AC'的解析式為y=kx+b
∴，
∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式為y=-x-1．
為x=1時，y=-2，
∴P點坐標為（1，-2）．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定，圖形面積的求法、函數圖象交點等知識點．
解題的關鍵是根據所學的知識確定點P的位置是解題的關鍵．
練習冊系列答案
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已知點（2，8）在拋物線y=ax2上，則a的值為（　�。�
A、±2
B、±2
2
C、2
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如圖，在平面直角坐標系中，以A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于B、C，與y軸的負半軸相交于D．
（1）若拋物線y=ax2+bx+c經過B、C、D三點，求此拋物線的解析式，并寫出拋物線與圓A的另一個交點E的坐標；
（2）若動直線MN（MN∥x軸）從點D開始，以每秒1個長度單位的速度沿y軸的正方向移動，且與線段CD、y軸分別交于M、N兩點，動點P同時從點C出發(fā)，在線段OC上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動，連接PM，設運動時間為t秒，當t為何值時，
MN•OPMN+OP
的值最大，并求出最大值；
（3）在（2）的條件下，若以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似，求實數t的值．精英家教網

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若（2，0）、（4，0）是拋物線y=ax2+bx+c上的兩個點，則它的對稱軸是直線（　�。�
A、x=0B、x=1C、x=2D、x=3

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如圖，在直角坐標平面內，O為原點，拋物線y=ax2+bx經過點A（6，0），且頂點B（m，6）在直線y=2x上．
（1）求m的值和拋物線y=ax2+bx的解析式；
（2）如在線段OB上有一點C，滿足OC=2CB，在x軸上有一點D（10，0），連接DC，且直線DC與y軸交于點E．
①求直線DC的解析式；
②如點M是直線DC上的一個動點，在x軸上方的平面內有另一點N，且以O、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，請求出點N的坐標．（直接寫出結果，不需要過程．）
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（2012•陜西）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是
等腰
等腰
三角形；
（2）若拋物線y=-x2+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如圖，△OAB是拋物線y=-x2+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由．

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