Question

已知AB∥CD．
（1）如圖①，試探求∠ABE，∠CDE與∠BED之間存在的等量關(guān)系式，并給出你的證明；
（2）如圖②，∠ABE，∠CDE與∠BED之間的關(guān)系為_(kāi)_____；
（3）根據(jù)點(diǎn)E的不同位置，你還有新的猜想嗎？如果有，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出圖形并寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論（不需要證明）結(jié)論：______；
（4）小明同學(xué)將一幅直角三角板如圖④放置，若AE∥BC，則∠EFC的度數(shù)為_(kāi)_____．

Answer 1

解：（1）如圖（一），過(guò)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠2，∠1=∠CDE，
∴∠1+∠2=∠ABE+∠CDE=∠BED；

（2）∵∠1是△EFB的外角，
∴∠1=∠ABE+∠BED，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠CDE，
∴∠CDE=∠ABE+∠BED；

（3）如圖（三），過(guò)E作AB的平行線，則∠1+∠ABE=180°，∠2+∠CDE=180°，
∴∠1+∠ABE+∠2+∠CDE=360°，即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；

（4）∵AE∥BC，∴∠FDC=∠E=45°，
∵∠C=30°，∠EFC是△CDF的外角，
∴∠EFC=∠C+∠EFC=30°+45°=75°．
分析：（1）過(guò)E作AB的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系求出∠1=∠E+∠B，再根據(jù)AB∥CD即可解答；
（3）如圖③當(dāng)E在如圖所示的位置時(shí)，過(guò)E作AB的平行線，由平行線的性質(zhì)可得出∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
（4）先根據(jù)AE∥BC可求出∠FDC的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，難度中等．