Question

四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分別是∠BAD和∠DCB的內(nèi)角平分線和外角平分線，
（1）分別在圖1、圖2、圖3下面的橫線上寫出AE與CF的位置關(guān)系；
（2）選擇其中一個(gè)圖形，證明你得出的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）圖1中AE∥FC；
圖2中AE∥FC；
圖3中AE⊥FC．

（2）選擇圖1證明．如圖：
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠D）=360°-180°=180°，
又∵AE、CF分別是∠BAD和∠DCB的內(nèi)角平分線，
∴∠1+∠3=∠BAD+∠BCD=（∠BAD+∠BCD）=×180°=90°．
又∵∠B=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴AE∥FC；

選擇圖2證明，如圖，
∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-2×90°=180°，
∴∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠GAD=∠BCD，
∵AE是∠GAD的角平分線，
∴∠1=∠GAD=∠BCD，
同理可得：∠2=∠BAD，
∴∠1+∠BAD=90°，
延長CD交AE于點(diǎn)P，∠ADC=90°，
∴∠1+∠P=90°，
∴∠P=∠BAD，
即∠P=∠2，
∴AE∥FC（同位角相等，兩直線平行）；
選擇圖3證明．如圖：
∵∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∵∠DCB+∠BCE=180°，
∴∠BAD=∠BCE，
∵AE、AF分別是∠BAD和∠DCB的內(nèi)角平分線和外角平分線，
∴∠1=∠BAD，∠2=∠BCE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠1+∠B+∠4=180°，∠2+∠CMA+∠3=180°，
∵∠B=90°∠1+∠4=∠2+∠3，
∴∠CMA=∠B=90°，
∴AE⊥CF．
分析：（1）結(jié)合圖形易得AE與CF的位置關(guān)系；
（2）圖1中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，可得∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)．根據(jù)角平分線的定義，可得∠1與∠3互余，再由三角形的內(nèi)角和定理得∠1與∠5也互余，同角的余角相等，得出∠3=∠5，根據(jù)同位角相等兩直線平行，得證AE∥FC．
點(diǎn)評：解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．本題是一道探索性條件開放性題目，能有效地培養(yǎng)學(xué)生“執(zhí)果索因”的思維方式與能力．