Question

（2013•朝陽區(qū)二模）閱讀下列材料：
小華遇到這樣一個問題，如圖1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個問題．他的做法是，如圖2，將△APC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EDC，連接PD、BE，則BE的長即為所求．
（1）請你寫出圖2中，PA+PB+PC的最小值為

61

；
（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：
①如圖3，菱形ABCD中，∠ABC=60°，在菱形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，請?jiān)趫D3中畫出并指明長度等于PA+PB+PC最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；②若①中菱形ABCD的邊長為4，請直接寫出當(dāng)PA+PB+PC值最小時PB的長．

Answer 1

分析：（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△APC≌△EDC，則∠ACP=∠ECD，AC=EC=5，∠PCD=60°，再證明∠BCE=90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的長度，即為PA+PB+PC的最小值；
（2）①將△APC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DEC，連接PE、DE，則線段BD即為PA+PB+PC最小值的線段；
②當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線時，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△APC≌△DEC，則CP=CE，再證明△PCE是等邊三角形，得到PE=CE=CP，然后根據(jù)菱形、三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定得出BP=CP，同理，得出DE=CE，則BP=PE=ED=

1

3

BD．

解答：解：（1）如圖2．∵將△APC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC，
∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=5，∠PCD=60°，
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°，
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．
在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，BC=6，CE=5，
∴BE=

BC2+CE2

=

62+52

=

61

，
即PA+PB+PC的最小值為

61

；

（2）①將△APC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DEC，連接PE、DE，
則線段BD等于PA+PB+PC最小值的線段；

②如圖，當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線時，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．
∵將△APC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DEC，
∴△APC≌△DEC，
∴CP=CE，∠PCE=60°，
∴△PCE是等邊三角形，
∴PE=CE=CP，∠EPC=∠CEP=60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠PCB=∠EPC-∠CBP=60°-∠30°=30°，
∴∠PCB=∠CBP=30°，
∴BP=CP，
同理，DE=CE，
∴BP=PE=ED．
連接AC，交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，BC=4，
∴BO=BC•cos∠OBC=4×

3

2

=2

3

，
∴BD=2BO=4

3

，
∴BP=

1

3

BD=

4 3

3

．
即當(dāng)PA+PB+PC值最小時PB的長為

4 3

3

．
故答案為：

61

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，同時考查了學(xué)生的閱讀理解能力和知識的遷移能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．讀懂閱讀材料，畫出最小值的線段是解題的關(guān)鍵．