Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（3-a）x+a-5=0
（1）求證：無論a為何實(shí)數(shù)時(shí)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
（2）若方程一根大于2，另一根小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先計(jì)算根的判別式得到△=a²-10a+29，再配方得△=（a-5）²+4，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）設(shè)方程的兩根為m，n，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得m+n=a-3，mn=a-5，再由題意得到（m-2）（n-2）＜0，變形得mn-2（m+n）+4＜0，所以a-5-2（a-3）+4＜0，然后解關(guān)于a的不等式．

解答：（1）證明：△=（3-a）²-4（a-5）
=a²-10a+29
=（a-5）²+4，
∵（a-5）²≥0，
∴（a-5）²+4＞0，
∴無論a為何實(shí)數(shù)時(shí)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

（2）解：設(shè)方程的兩根為m，n，則m+n=a-3，mn=a-5，
∵m＞2，n＜2，
∴m-2＞0，n-2＜0，
∴（m-2）（n-2）＜0，
∴mn-2（m+n）+4＜0，
∴a-5-2（a-3）+4＜0，
∴a＞5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系．