Question

如圖等腰三角形紙片OAB，現(xiàn)要求在紙片上截一個(gè)正方形，使它的面積盡可能大．
小明的一種設(shè)計(jì)方案是：如圖，在扇形紙片OAB內(nèi)，畫正方形CDEF，使C、D在OA上，F(xiàn)在OB上；連接OE并延長(zhǎng)交弧AB于I，畫IH∥ED交OA于H，IJ∥EF交OB于J，再畫JG∥FC交OA于G．
（1）你能說明嗎？
（2）四邊形GHIJ是正方形嗎？如果是，請(qǐng)證明．如果不是，請(qǐng)說明理由．
（3）如果扇形OAB的圓心角∠AOB=30°，OA=6cm，小明截得的四邊形GHIJ面積是多少（，結(jié)果精確到0.1cm²）？

Answer 1

（1）證明：∵IJ∥EF，IH∥ED，
∴，，
∴．

（2）四邊形GHIJ是正方形，
證明：∵CDEF是正方形，
∴EF=DE=CD=CF，
∵=，
∴JI=DI，
∵IH∥ED，IJ∥EF，JG∥FC，
∴IJ∥DH，IH∥JG，∠IHG=∠EDC=90°，
∴四邊形GHIJ是正方形．

（3）解：設(shè)正方形GHIJ的邊長(zhǎng)為x，則GH=HI=JG=x，在直角三角形△OGJ，∠GOJ=30°，
∴OG=，OH=+x，∵OI²=OH²+HI²，
∴，
解得：，
∴正方形GHIJ的面積是4.3cm²．
分析：（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理推出比例式（都等于），推出即可；
（2）證出四邊形GHIJ是平行四邊形，推出J=HI，∠IHG=90°，根據(jù)正方形的定義求出即可；
（3）設(shè)正方形GHIJ的邊長(zhǎng)為x，推出GH=HI=JG=x，根據(jù)∠GOJ=30°求出OG=，OH=+x，根據(jù)勾股定理得出OI²=OH²+HI²，代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是證出正方形GHIJ和根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)得出方程，題目比較典型．