Question

如圖，射線AM⊥AN于點A，點C、B在AM、AN上，D為線段AC的中點，且DE⊥BC于E點．
（1）若BC=8，△ABC的面積為9．①直接寫出AC²+AB²的值；②求△ABC的周長；
（2）若AB=6，C點在射線AM上移動，問此過程中，BE²-CE²的值是否會為定值？若會，請求出這個定值；若不會，請求出它的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①利用勾股定理可得出AC²+AB²的值；
     ②利用完全平方公式的知識，結(jié)合①可得出AB+AC，繼而得出△ABC的周長；
（2）連結(jié)BD，利用勾股定理可得出BE²、BC²，求出BE²-CE²的值即可作出判斷．

解答：解：（1）①AC²+AB²=BC²=64．
②如圖，∵AM⊥AN，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC的面積為9，
∴

1

2

AC•AB=9，即2AC•AB=36，
由①可知：AB²+AC²=64，
∴AB²+2AB•AC+AC²=100，
∴（AB+AC）²=100，
∵AB+AC＞0，
∴AB+AC=10
∴AB+AC+BC=18即△ABC的周長為18．
（2）連結(jié)BD，

在Rt△BDE中，BE²=BD²-DE²…①
在Rt△DEC中，EC²=DC²-DE²…②
①-②得：BE²-EC²=BD²-DC²，
∵AD=DC，
∴BE²-EC²=BD²-AD²，
在Rt△ABD中，BD²-AD²=AB²=6²=36，
∴BE²-EC²=36（定值），
故在點C移動過程中，BE²-EC²的值是定值，其值是36．

點評：本題考查了勾股定理、平方差公式及完全平方公式，解答本題的關鍵是熟練掌握勾股定理的表達式，并能利用平方差公式及完全平方公式進行變形，難度一般．