Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)、，將矩形的一個角沿直線折疊，使得點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，折痕與軸交于點(diǎn).

（1）線段的長度為__________；

（2）求直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（3）若點(diǎn)在線段上，在線段上是否存在點(diǎn)，使四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）15；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理即可解決問題；
（2）設(shè)AD=x，則OD=OA=AD=12-x，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，DE=x，BE=AB=9，又OB=15，可得OE=OB-BE=15-9=6，在Rt△OED中，根據(jù)OE2+DE2=OD2，構(gòu)建方程即可解決問題；
（3）過點(diǎn)E作EP∥BD交BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥DE交BD于點(diǎn)Q，則四邊形DEPQ是平行四邊形，再過點(diǎn)E作EF⊥OD于點(diǎn)F，想辦法求出最小PE的解析式即可解決問題。

解：（1）在Rt△ABC中，∵OA=12，AB=9，

故答案為15．

（2）如圖，

設(shè)，則

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，，

又，

∴，

在中，，

即，則，

∴，

∴

設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：

則，

解得

∴直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：．

故答案為：

（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由

得，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

又點(diǎn)在直線：上，

∴，解得，

由于，所以可設(shè)直線，

∵在直線上

∴，解得

∴直線為，

令，則，解得，

∴