如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,頂點(diǎn)D,C分別在AM,BN上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與A重合,點(diǎn)C不與B重合),E是AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A,B重合),在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持DE⊥CE,且AD+DE=AB=a.
(1)求證:△ADE∽△BEC;
(2)當(dāng)點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)時(shí)(如圖2),求證:①AD+BC=CD;②DE,CE分別平分∠ADC,∠BCD;
(3)設(shè)AE=m,請(qǐng)?zhí)骄浚骸鰾EC的周長是否與m值有關(guān),若有關(guān)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示△BEC的周長;若無關(guān)請(qǐng)說明理由.
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分析:(1)∠A=∠D=90°,然后利用∠DEC=90°得到∠AED=∠ECB,這樣就可以證明△ADE∽△BEC;
(2)過點(diǎn)E作梯形兩底的平行線交腰CD于F,則F是CD的中點(diǎn),然后利用梯形的中位線就可以證明①和②;
(3)主要利用(1)中的相似三角形帶來的比例線段和勾股定理解題.
解答:(1)證明:∵梯形ABCD是直角梯形
∴∠A=∠B=90°
又∵∠DEC=90°
∴∠AED+∠BEC=90°
∵∠BEC+∠BCE=90°
∴∠AED=∠BCE
∴△ADE∽△BEC

(2)證明:過點(diǎn)E作EF∥AD,交CD于F,則EF既是梯形ABCD的中位線,又是Rt△DEC斜邊上的中線.
∵AD+BC=2EF,CD=2EF精英家教網(wǎng)
∴AD+BC=CD
∵FD=FE=
1
2
CD
∴∠FDE=∠FED
∵EF∥AD
∴∠ADE=∠FED
∴∠FDE=∠ADE,即DE平分∠ADC
同理可證:CE平分∠BCD

(3)解:設(shè)AD=x,由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x,又AE=m
在Rt△AED中,由勾股定理得:x2+m2=(a-x)2,化簡整理得:a2-m2=2ax①
在△EBC中,由AE=m,AB=a,得BE=a-m
因?yàn)椤鰽DE∽△BEC,所以
AD
BE
=
AE
BC
=
DE
EC
,
即:
x
a-m
=
m
BC
=
a-x
EC

解得:BC=
(a-m)m
x
,EC=
(a-m)(a-x)
x

所以△BEC的周長=BE+BC+EC=(a-m)+
(a-m)m
x
+
(a-m)(a-x)
x

=(a-m)(1+
m
x
+
a-x
x
)
=(a-m)•
a+m
x

=
a2-m2
x

把①式代入②,得△BEC的周長=BE+BC+EC=
2ax
x
=2a

所以△BEC的周長與m無關(guān).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了梯形的中位線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1,在直角梯形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BC,CD運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,△ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則△BCD的面積是(  )
A、3B、4C、5D、6

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀理解:如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90°時(shí),易證△ABP∽△PCD,從而得到BP•PC=AB•CD,解答下列問題.
(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí),求證:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展應(yīng)用:如圖3,在四邊形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于點(diǎn)O,以O(shè)為頂點(diǎn),以BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)O、C重合)
(i)當(dāng)∠APD=60°時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(ii)過點(diǎn)P作PE⊥PD,交y軸于點(diǎn)E,設(shè)PO=x,OE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

27、如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn),且DF=BE.容易證得:CE=CF;
(1)在圖1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,試猜想GE、BE、GD三線段之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在(1)的條件下,若以C為圓心,CD為半徑作圓,試判斷此圓與直線EG的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)運(yùn)用(1)中解答所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:
如圖2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一點(diǎn),且∠DCE=45°,BE=4,求DE的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿折線B→C→D→A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2個(gè)單位長度/秒,若設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒,△ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則△ABC的面積為( 。
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A、16B、48C、24D、64

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥DC,BC=10cm,CD=6cm.有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段CD與BC上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E以每秒1cm的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)F以每秒2cm的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng);當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求AD的長;
(2)設(shè)四邊形BFED的面積為y,求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中,如果由點(diǎn)C、E、F構(gòu)成的三角形與△BDC相似,求線段BF的長.

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