Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸正半軸上，OA=6，以O(shè)A為直徑作⊙M，點C在⊙M上，∠AOC=45°，四邊形ABCO為平行四邊形．
（1）求證：BC為⊙M的切線．
（2）求點B的坐標．
（3）若D點坐標為（4，-3），求∠OCD的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連接CM，求出∠OCM=∠COA=45°，求出∠CMA=90°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出∠BCM=∠CMA即可；
（2）求出OM和CM值，即可求出B的坐標；
（3）連接AD，過D作DN⊥OA于N，根據(jù)D的坐標求出DO的值，得出∠OAD=∠OCD，在Rt△AND中，根據(jù)解直角三角形求出即可．

解答：（1）證明：
連接CM，
∵OM=CM，∠AOC=45°，
∴∠AOC=∠OCM=45°，
∴∠CMA=45°+45°=90°，
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴BC∥OA，
∴∠BCM=180°-90°=90°，
∴MC⊥BC，
∵MC是半徑，
∴BC是⊙M的切線．

（2）解：∵OA=6，
∴OM=3，
∴OM=MC=3，
∴B的橫坐標是3+6=9，
即B的坐標是（9，3）．

（3）解：
連接AD，過D作DN⊥OA于N，
∵D（4，-3），
∴ON=4，DN=3，
∴DO=5，
∵OA=6，
由圓周角定理得：∠OAD=∠OCD，
即sin∠OCD=sin∠OAD=

DO

AO

=

5

6

．

點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，解直角三角形，切線的判定，圓周角定理等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較典型，綜合性比較強．