Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如圖），E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），M是線段DE的中點(diǎn)．
（1）設(shè)BE=x，△ABM的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）如果以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，求線段BE的長(zhǎng)；
（3）連接BD，交線段AM于點(diǎn)N，如果以A，N，D為頂點(diǎn)的三角形與△BME相似，求線段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）△ABM中，已知了AB的長(zhǎng)，要求面積就必須求出M到AB的距離，如果連接AB的中點(diǎn)和M，那么這條線就是直角梯形的中位線也是三角形ABM的高，那么AB邊上的高就是（AD+BE）的一半，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)以AB，DE為直徑的圓外切，那么可得出的是AD+BC=AB+DE，那么可根據(jù)BE，AD的差和AB的長(zhǎng)，用勾股定理來(lái)表示出DE，然后根據(jù)上面分析的等量關(guān)系得出關(guān)于x的方程，即可求出x的值，即BE的長(zhǎng)；
（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因?yàn)锳D∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠ADN=∠BME時(shí)，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出關(guān)于DE，BE，EM的比例關(guān)系式，即可求出x的值．
②當(dāng)∠AND=∠BEM時(shí)，∠ADB=∠BEM，可根據(jù)這兩個(gè)角的正切值求出x的值．

解答：解：（1）取AB的中點(diǎn)H，連接MH，
∵M(jìn)是線段DE的中點(diǎn)
∴MH=

1

2

（BE+AD），MH∥AD，
∵∠DAB=90°，
∴AD⊥AB，
∴MH⊥AB，
∴S_△ABM=

1

2

AB•MH得y=

1

2

x+2；（x＞0）



（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交于F，由圖形可得DE=

(x-4)2+22

，
又∵M(jìn)H=

1

2

AD+

1

2

BE=

1

2

（AD+BE），
即

1

2

（x+4）=

1

2

[2+

(x-4)2+22

]．
解得x=

4

3

．
即線段BE的長(zhǎng)為

4

3

．

（3）因?yàn)槿绻�三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因?yàn)锳D∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)∠ADN=∠BEM時(shí)，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足為F，
tan∠ADB=tan∠BEM．
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②當(dāng)∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∵

DE

BE

=

BE

EM

，即BE²=DE•EM，
∴BE²=

1

2

DE²，
∴x²=

1

2

[2²+（x-4）²]，
∴x₁=2，x₂=-10（舍去），
∴BE=2．
綜上所述線段BE為8或2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，中位線定理以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，（3）中要根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)角相等來(lái)分情況討論，不要漏解．