Question

如圖，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，0），（0，），以點(diǎn)C（-1，-1）為圓心的⊙C分別與x軸，y軸都相切；若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DB與x軸交于點(diǎn)E．則△ABE的最大面積是________．

Answer 1

分析：過(guò)B作圓C的切線BM交X軸于N，當(dāng)D和M重合時(shí)，E和N重合，此時(shí)AE最大，因?yàn)椤鰽BE的高OB一定時(shí)，此時(shí)△ABE的面積就最大，連接CF、CW，根據(jù)切線的性質(zhì)證四邊形CWOF是正方形，得到OW=CW=CF=OF=1，根據(jù)切線長(zhǎng)定理推出BF=BM，NW=NM，設(shè)NW=NM=x，在Rt△BNO中由勾股定理得出BN²=OB²+ON²，代入得到方程，求出x，即可求出AE的最大值，即可求出答案．
解答：過(guò)B作圓C的切線BM交X軸于N，當(dāng)D和M重合時(shí)，E和N重合，此時(shí)AE最大，
因?yàn)椤鰽BE的高OB一定時(shí)，此時(shí)△ABE的面積就最大，
連接CF、CW，
∵圓C且X軸于W，切Y軸于F，
∴CW⊥X軸，CF⊥Y軸，∵X軸⊥Y軸，
∵CF=CW，
∴四邊形CWOF是正方形，
∴OW=CW=CF=OF=1，
∵BM切圓C于M，
∴BF=BM，NW=NM，
設(shè)NW=NM=x，則BN=-1+1-x=-x，
ON=1+x，
在Rt△BNO中由勾股定理得：BN²=OB²+ON²，
∴=+（1+x）²，
解得：x=2-，
∴此時(shí)AE最大是-1+1+2-=2，
△ABE的最大面積是×AE×OB=×2×（-1）=-1，
故答案為：-1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，勾股定理，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解一元一次方程，正方形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中．