Question

如圖，已知A，B兩點的坐標分別為（，0），（0，），以點C（-1，-1）為圓心的⊙C分別與x軸，y軸都相切；若D是⊙C上的一個動點，線段DB與x軸交于點E．則△ABE的最大面積是________．

Answer 1

分析：過B作圓C的切線BM交X軸于N，當D和M重合時，E和N重合，此時AE最大，因為△ABE的高OB一定時，此時△ABE的面積就最大，連接CF、CW，根據切線的性質證四邊形CWOF是正方形，得到OW=CW=CF=OF=1，根據切線長定理推出BF=BM，NW=NM，設NW=NM=x，在Rt△BNO中由勾股定理得出BN²=OB²+ON²，代入得到方程，求出x，即可求出AE的最大值，即可求出答案．
解答：過B作圓C的切線BM交X軸于N，當D和M重合時，E和N重合，此時AE最大，
因為△ABE的高OB一定時，此時△ABE的面積就最大，
連接CF、CW，
∵圓C且X軸于W，切Y軸于F，
∴CW⊥X軸，CF⊥Y軸，∵X軸⊥Y軸，
∵CF=CW，
∴四邊形CWOF是正方形，
∴OW=CW=CF=OF=1，
∵BM切圓C于M，
∴BF=BM，NW=NM，
設NW=NM=x，則BN=-1+1-x=-x，
ON=1+x，
在Rt△BNO中由勾股定理得：BN²=OB²+ON²，
∴=+（1+x）²，
解得：x=2-，
∴此時AE最大是-1+1+2-=2，
△ABE的最大面積是×AE×OB=×2×（-1）=-1，
故答案為：-1．
點評：本題主要考查對切線的性質，切線長定理，勾股定理，三角形的面積，坐標與圖形的性質，解一元一次方程，正方形的性質和判定等知識點的理解和掌握，熟練地運用性質進行計算是解此題的關鍵，題目比較典型，難度適中．