Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，

3

)，當(dāng)x=-4和x=2時(shí)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的函數(shù)值y相等，連接AC、BC．
（1）求實(shí)數(shù)a，b，c的值；
（2）若點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以B，N，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于x=-4和x=2時(shí)，拋物線的函數(shù)相等，那么它的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，可據(jù)此求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式，從而得到a、b、c的值；
（2）連接AC，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，易求得AC、BC、AB的長(zhǎng)，從而證得△ACB是直角三角形，且∠ABC=60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)知BM=BN=MP=PN，故四邊形PMBN是菱形，此時(shí)PN∥AB，可得△CPN∽△CAB，利用所得比例線段，即可求得t值以及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由（2）求得∠ACB=90°，若以B，N，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么以B，N，Q為頂點(diǎn)的三角形也必為直角三角形，可分三種情況考慮：
①顯然BN中點(diǎn)的距離要大于1，由（2）求得的t值可得到

1

2

BN的長(zhǎng)要小于1，因此以BN為直徑的圓與拋物線對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)有交點(diǎn)，因此Q不可能為直角頂點(diǎn)；
②若∠BNQ=90°，則有兩種情況：
1）∠NBQ=60°，此時(shí)Q為拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，由于N不是線段BC的中點(diǎn)，故NQ與AC不平行，圖此時(shí)∠BNQ不可能是90°；
2）∠NBQ=30°，此時(shí)Q點(diǎn)與點(diǎn)P重合，顯然此時(shí)∠BNQ不等于90°；
③若∠NBQ=90°，延長(zhǎng)NM交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)Q，此時(shí)∠MBQ=∠MQB=30°，可得QM=BM=PM，即x軸垂直平分PQ，此時(shí)P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，由此可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意知：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，則B（1，0）
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），
則有：a（0+3）（0-1）=

3

，a=-

3

3

∴y=-

3

3

（x+3）（x-1）=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

故a=-

3

3

，b=-

2 3

3

，c=

3

；

（2）∵A（-3，0），B（1，0），C（0，

3

），
∴OA=3，OB=1，OC=

3

，AB=4，AC=2

3

，BC=2
故△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∠ABC=60°
由題意知：BM=BN=MP=PN=t，
所以四邊形PNBM是菱形，
∴PN∥AB，
則有：

PN

AB

=

CN

BC

，即

t

4

=

2-t

2

，
解得t=

4

3

．
過(guò)P作PE⊥AB于E，
在Rt△PME中，∠PME=60°，PM=t=

4

3

，
故PE=

2 3

3

，ME=

2

3

∵OM=BM-OB=t-1=

1

3

，
∴OE=OM+EM=1，
即P（-1，

2 3

3

）；

（3）由（1）知：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，
所以點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上；
由（2）知，∠ACB=90°，若以B，N，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則△BNQ必為直角三角形；
①若∠BQN=90°；
由于BN=BM=t=

4

3

，則

1

2

BN=

2

3

；
而B(niǎo)N中點(diǎn)到拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離大于1，
故以BN為直徑的圓與拋物線對(duì)稱(chēng)軸無(wú)交點(diǎn)，
所以∠BQN≠90°，此種情況不成立．
②若∠BNQ=90°；
當(dāng)∠NBQ=60°時(shí)，Q、E重合，此時(shí)∠BNQ≠90°，
當(dāng)∠NBQ=30°時(shí)，Q、P重合，此時(shí)∠BNQ≠90°，
故此種情況也不成立．
③若∠NBQ=90°，延長(zhǎng)NM交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)Q，
∵∠PME=∠QME=∠BMN=∠NMP=60°，EM⊥PQ，
∴P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故Q（-1，-

2 3

3

）；
綜上所述，存在符合條件的Q點(diǎn)，且坐標(biāo)為Q（-1，-

2 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線的性質(zhì)、函數(shù)解析式的確定，直角三角形、菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)、圓周角定理等重要知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．