Question

如圖，P為△ABC的邊BC上的任意一點，設(shè)BC=a，BC邊上的高AH為h．作△ABC的中位線B₁C₁，連接PB₁、PC₁；作△AB₁C₁的中位線B₂C₂，連接PB₂、PC₂；…；這樣一直作下去，得到一組三角形：△PB₁C₁、△PB₂C₂、…、△PB_nC_n（n為正整數(shù)），則△PB_nC_n的面積為

2n-1

22n+1

ah

（用含n、a、h的式子表示）．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)求得△ABC與△AB₁C₁對應(yīng)邊上的高線的比，然后根據(jù)規(guī)律表示出B_nC_n與h_n，再根據(jù)三角形的面積公式求出S_△PBnCn的面積．

解答：解：∵B₁C₁是△ABC的中位線，
∴B₁C₁∥BC，B₁C₁=

1

2

BC；
∴△AB₁C₁∽△ABC，
∴

B1C1

BC

=

h-h1

h

，
∴

h1

h

=

1

2

，
∴h₁=

1

2

h；
同理，B₂C₂=

1

2

B₁C₁=

1

4

BC=

1

4

a，
h₂=h-

1

2

h-

1

2

×

1

2

h=

3

4

h；
∴B_nC_n=(

1

2

)na，h_n=

2n-1

2n

h
∴S_△PBnCn=

1

2

B_nC_n•h_n=

2n-1

22n+1

ah．
故答案是：

2n-1

22n+1

ah．

點評：本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．