Question

由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間的陰影部分是一個小正方形的“趙爽弦圖”，若這四個全等的直角三角形有一個角為30°，頂點B₁，B₂，B₃，…，B_n和C₁，C₂，C₃，…，C_n分別在直線和x軸上，則第一個陰影正方形的面積為    ，第n個陰影正方形的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先設(shè)B₁點坐標(biāo)為（t，t），由頂點B₁在直線上，即可求得t的值，又由這四個全等的直角三角形有一個角為30°，可求得第一個陰影正方形的邊長，則可求得第一個陰影正方形的面積；可設(shè)正方形A₂B₂C₂C₁的邊長為a，第一個陰影正方形與第二個陰影正方形的相似比為：a：t=2：3，即可求得答案．
解答：解：如圖：設(shè)B₁點坐標(biāo)為（t，t），
∴t=-t++1，
解得：t=（+1），
∴A₁B₁=t=（+1），
∵這四個全等的直角三角形有一個角為30°，
∴B₁N₁=A₁B₁=t=（+1），A₁N₁=A₁B₁•cos30°=t=×（+1）=，
∴B₁P₁=A₁N₁=，
∴N₁P₁=B₁P₁-B₁N₁=-=，
∴第一個陰影正方形的面積是：（）²=；
設(shè)正方形A₂B₂C₂C₁的邊長為a，
∵直線y=-x++1的斜率為-，
∴tan∠B₁B₂A₂==，
在Rt△A₂B₂B₁中，=2，
∴a：t=2：3，
∵N₁P₁=B₁P₁-B₁N₁=（-）t，
同理：N₂P₂=B₂P₂-B₂N₂=（-）a，
∴第一個陰影正方形與第二個陰影正方形的相似比為：a：t=2：3，
∴第一個陰影正方形與第二個陰影正方形的面積比為4：9，
∴第二個陰影正方形的面積為：×=（）²，
∴第三個陰影正方形的面積為：××=（）³，
∴第n個陰影正方形的面積為：（）ⁿ．
故答案為：，（）ⁿ．
點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．