Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+（a≠0）經(jīng)過A（-3，0）、C（5，0）兩點，點B為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）動點P從點B出發(fā)，沿線段BD向終點D作勻速運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為ts，過點P作PM⊥BD交BC于點M，過點M作MN∥BD，交拋物線于點N．
①當(dāng)t為何值時，線段MN最長；
②在點P運動的過程中，是否有某一時刻，使得以O(shè)、P、M、C為頂點的四邊形為等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，請說明理由．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)是．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法直接將A（-3，0）、C（5，0）兩點代入拋物線y=ax²+bx+（a≠0）就可以求出拋物線的解析式．
（2）①延長NM交AC于E，根據(jù)拋物線的解析式就可以求出頂點坐標(biāo)B，利用條件得出三角形相似，求出MP，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點E，點N的坐標(biāo)，把MN的長度表示出來，在轉(zhuǎn)化 為頂點式就可以求出結(jié)論了．
②根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)連接PD，只要OD=CE時，就可以求出t值了．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+與x軸交于點A（-3，0），C（5，0）
∴
解得．
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+x+．

（2）①延長NM交AC于E，
∵B為拋物線y=-x²+x+的頂點，
∴B（1，8）．（5分）
∴BD=8，OD=1．
∵C（5，0），
∴CD=4．
∵PM⊥BD，BD⊥AC，
∴PM∥AC．
∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD．
∴△BPM∽△BDC．
∴=．
根據(jù)題意可得BP=t，
∴=．
∴PM=t．
∵MN∥BD，PM∥AC，∠BDC=90°，
∴四邊形PMED為矩形．
∴DE=PM=t．
∴OE=OD+DE=1+t．
∴E（1+t，0）．
∵點N在拋物線上，橫坐標(biāo)為1+t，
∴點N的縱坐標(biāo)為-（1+t）²+（1+t）+．
∴NE=-（1+t）²+（1+t）+
=-t²+8．
∵PB=t，PD=ME，
∴EM=8-t．
∴MN=NE-EM=-t²+8-（8-t）
=-（t-4）²+2．
當(dāng)t=4時，MN_最大=2．
②存在符合條件的t值．
連接OP，如圖（2）．
若四邊形OPMC是等腰梯形，只需OD=EC．
∵OD=1，DE=PM=t，
∴EC=5-（t+1）．
∴5-（t+1）=1．
解得t=6．
∴當(dāng)t=6時，四邊形OPMC是等腰梯形．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰梯形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)．