Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，直線l經(jīng)過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，過點A（0，1）作y軸的垂線l于點B，過點B₁作作直線l的垂線交y軸于點A₁，以A₁B．BA為鄰邊作?ABA₁C₁；過點A₁作y軸的垂線交直線l于點B₁，過點B₁作直線l的垂線交y軸于點A₂，以A₂B₁．B₁A₁為鄰邊作?A₁B₁A₂C₂；…；按此作法繼續(xù)下去，則C_n的坐標(biāo)是    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出直線l的解析式為y=x，設(shè)B點坐標(biāo)為（x，1），根據(jù)直線l經(jīng)過點B，求出B點坐標(biāo)為（，1），解Rt△A₁AB，得出AA₁=3，OA₁=4，由平行四邊形的性質(zhì)得出A₁C₁=AB=，則C₁點的坐標(biāo)為（-，4），即（-×4，4¹）；根據(jù)直線l經(jīng)過點B₁，求出B₁點坐標(biāo)為（4，4），解Rt△A₂A₁B₁，得出A₁A₂=12，OA₂=16，由平行四邊形的性質(zhì)得出A₂C₂=A₁B₁=4，則C₂點的坐標(biāo)為（-4，16），即（-×4¹，4²）；同理，可得C₃點的坐標(biāo)為（-16，64），即（-×4²，4³）；進而得出規(guī)律，求得C_n的坐標(biāo)是（-×4^n-1，4ⁿ）．
解答：解：∵直線l經(jīng)過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，
∴直線l的解析式為y=x．
∵AB⊥y軸，點A（0，1），
∴可設(shè)B點坐標(biāo)為（x，1），
將B（x，1）代入y=x，
得1=x，解得x=，
∴B點坐標(biāo)為（，1），AB=．
在Rt△A₁AB中，∠AA₁B=90°-60°=30°，∠A₁AB=90°，
∴AA₁=AB=3，OA₁=OA+AA₁=1+3=4，
∵?ABA₁C₁中，A₁C₁=AB=，
∴C₁點的坐標(biāo)為（-，4），即（-×4，4¹）；
由x=4，解得x=4，
∴B₁點坐標(biāo)為（4，4），A₁B₁=4．
在Rt△A₂A₁B₁中，∠A₁A₂B₁=30°，∠A₂A₁B₁=90°，
∴A₁A₂=A₁B₁=12，OA₂=OA₁+A₁A₂=4+12=16，
∵?A₁B₁A₂C₂中，A₂C₂=A₁B₁=4，
∴C₂點的坐標(biāo)為（-4，16），即（-×4¹，4²）；
同理，可得C₃點的坐標(biāo)為（-16，64），即（-×4²，4³）；
以此類推，則C_n的坐標(biāo)是（-×4^n-1，4ⁿ）．
故答案為（-×4^n-1，4ⁿ）．
點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，先分別求出C₁、C₂、C₃點的坐標(biāo)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．