Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動點，當∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；
（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當點P在x軸上，且PQ= MN時，求菱形對角線MN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OB=OC=6，

∴B（6，0），C（0，﹣6），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣2x﹣6，

∵y= x2﹣2x﹣6= （x﹣2）2﹣8，

∴點D的坐標為（2，﹣8）；

（2）

解：如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，

設F（x， x2﹣2x﹣6），則FG=| x2﹣2x﹣6|，

在y= x2﹣2x﹣6中，令y=0可得 x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，

∴A（﹣2，0），

∴OA=2，則AG=x+2，

∵B（6，0），D（2，﹣8），

∴BE=6﹣2=4，DE=8，

當∠FAB=∠EDB時，且∠FGA=∠BED，

∴△FAG∽△BDE，

∴ = ，即 = = ，

當點F在x軸上方時，則有 = ，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此進F點坐標為（7， ）；

當點F在x軸上方時，則有 =﹣ ，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此進F點坐標為（5，﹣ ）；

綜上可知F點的坐標為（7， ）或（5，﹣ ）；

（3）

解：∵點P在x軸上，

∴由菱形的對稱性可知P（2，0），

如圖2，當MN在x軸上方時，設T為菱形對角線的交點，

∵PQ= MN，

∴MT=2PT，

設PT=n，則MT=2n，

∴M（2+2n，n），

∵M在拋物線上，

∴n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 或n= ，

∴MN=2MT=4n= +1；

當MN在x軸下方時，同理可設PT=n，則M（2+2n，﹣n），

∴﹣n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 或n= （舍去），

∴MN=2MT=4n= ﹣1；

綜上可知菱形對角線MN的長為 +1或 ﹣1．

【解析】（1）由條件可求得B、C坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，進一步可求得D點坐標；（2）過F作FG⊥x軸于點G，可設出F點坐標，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性質可得到關于F點坐標的方程，可求得F點的坐標；（3）可求得P點坐標，設T為菱形對角線的交點，設出PT的長為n，從而可表示出M點的坐標，代入拋物線解析式可得到n的方程，可求得n的值，從而可求得MN的長．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的性質(對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)．