Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且△ABC外接圓的直徑為6.25，那么△ABC三邊的長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)為a，b，c且a，b，c均為正整數(shù)．根據(jù)已知條件知三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)均小于外接圓直徑6.25．然后根據(jù)海倫--秦九韶公式

p(p-a)(p-b)(p-c)

=S=

1

2

absinC=

abc

4R

求得64（abc）²=625•（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b），最后由數(shù)的整除求得三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)．

解答：解：設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)為a，b，c且a，b，c均為正整數(shù)，△ABC外接圓直徑2R=6.25．
∵a，b，c≤2R，
∴a，b，c只能取1、2、3、4、5、6；
由

p(p-a)(p-b)(p-c)

=S=

1

2

absinC=

abc

4R

，得

1

24

•（a+b+c）（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）=(

abc

12.5

)2
∴64（abc）²=625•（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）
∴5⁴|（abc）²故a，b，c中至少有兩個(gè)5；
不妨設(shè)a=b=5，則64C²=（10+c）•C•C•（10-c）?C=6，
∴△ABC三邊長(zhǎng)為5，5，6．
故答案為：5、5、6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系、正弦定理與余弦定理．解答此題時(shí)，綜合運(yùn)用了海倫--秦九韶公式與數(shù)的整除的知識(shí)點(diǎn)．