Question

如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸為x=3的拋物線(xiàn)y=ax²+2x與x軸相交于點(diǎn)B，O．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式，并求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）連接AB，把AB所在的直線(xiàn)平移，使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，得到直線(xiàn)l．點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)0＜S≤18時(shí)，求t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t取最大值時(shí)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程即可確定a的值，由此可得到拋物線(xiàn)的解析式，通過(guò)配方可求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，易求得直線(xiàn)AB的解析式，進(jìn)而可確定直線(xiàn)l的解析式，即可表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)；由于P點(diǎn)的位置不確定，因此本題要分成兩種情況考慮：
①P點(diǎn)位于第四象限，此時(shí)t＞0，四邊形AOPB的面積可由△OAB和△OBP的面積和求得，由此可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)S的取值范圍即可判斷出t的取值范圍；
②P點(diǎn)位于第二象限，此時(shí)t＜0，可分別過(guò)A、P作x軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為N、M；那么四邊形AOPB的面積即可由梯形APMN與△ABN的面積和再減去△OPM的面積求得，由此可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，可參照①的方法求出t的取值范圍；
結(jié)合上面兩種情況即可得到符合條件的t的取值范圍；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可求出t的最大值，由此可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)；若△OPQ為直角三角形且OP為直角邊，那么有兩種情況需要考慮：①∠QOP=90°，②∠OPQ=90°；
可分別過(guò)Q、O作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)m、n，由于互相垂直的兩直線(xiàn)斜率的乘積為-1，根據(jù)直線(xiàn)l的解析式以及Q、O的坐標(biāo)，即可求出直線(xiàn)m、n的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵點(diǎn)B與O（0，0）關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0）．
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=ax²+2x得：
36a+12=0；
∴a=．
∴拋物線(xiàn)解析式為．（2分）
當(dāng)x=3時(shí)，；
∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，3）．（3分）
（說(shuō)明：可用對(duì)稱(chēng)軸為，求a值，用頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)A坐標(biāo)）

（2）設(shè)直線(xiàn)AB解析式為y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴
解得，
∴y=-x+6．
∵直線(xiàn)l∥AB且過(guò)點(diǎn)O，
∴直線(xiàn)l解析式為y=-x．
∵點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)且橫坐標(biāo)為t，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，-t）．（4分）
當(dāng)P在第四象限時(shí)（t＞0），
S=S_△AOB+S_△OBP
=×6×3+×6×|-t|
=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴-3＜t≤3．
又t＞0，
∴0＜t≤3．（5分）
當(dāng)P在第二象限時(shí)（t＜0），
作PM⊥x軸于M，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為N，
則S=S_梯形ANMP+S_△ANB-S_△PMO
=
=
=-3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18，
∴-3≤t＜3；
又t＜0，
∴-3≤t＜0；（6分）
∴t的取值范圍是-3≤t＜0或0＜t≤3．

（3）存在，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）．（9分）
由（2）知t的最大值為3，則P（3，-3）；
過(guò)O、P作直線(xiàn)m、n垂直于直線(xiàn)l；
∵直線(xiàn)l的解析式為y=-x，
∴直線(xiàn)m的解析式為y=x；
可設(shè)直線(xiàn)n的解析式為y=x+h，則有：
3+h=-3，h=-6；
∴直線(xiàn)n：y=x-6；
聯(lián)立直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)的解析式有：
，
解得，；
∴Q₁（3，3）；
同理可聯(lián)立直線(xiàn)n與拋物線(xiàn)的解析式，求得Q₂（6，0），Q₃（-3，-9）．
（說(shuō)明：點(diǎn)Q坐標(biāo)答對(duì)一個(gè)給1分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．